中考题最后的压轴题中,经常出现与角度相关的问题。与平面直角坐标系结合,将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起,考察学生对知识综合、灵活应用的能力,同时考察学生解题方法的思路的灵活性,以及对数学学科思维的掌握情况。 平面直角坐标系下的角度相等问题,通常有以下几种解题思路: 1、 利用三角形全等解决 2、 利用三角形相似解决 3、 利用三角函数解决 4、 利用圆的知识解决 下面分类举例说明: 类型一、 利用三角形全等解决角度相等问题 例1、如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC. (1)求抛物线的表达式; (2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 【解析】:(1)∵抛物线y=ax^2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),带入两点坐标即可。 ∴抛物线的表达式为y=-x^2+2x+3; (2) 设BP交轴y于点G,再根据点B、C、D的坐标,得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°,进而判定△CGB≌△CDB,求得点G的坐标为(0,1),得到直线BP的解析式为y=- 1/3x+1,最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可. 【解答】解:(1)抛物线的表达式为y=-x^2+2x+3;(过程略) (2)存在. 如图,设BP交轴y于点G, ∵点D(2,m)在第一象限的抛物线上, ∴当x=2时,m=﹣2^2+2×2+3=3, ∴点D的坐标为(2,3), 把x=0代入y=﹣x^2+2x+3,得y=3, ∴点C的坐标为(0,3), ∴CD∥x轴,CD=2, ∵点B(3,0), ∴OB=OC=3, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°, 又∵∠PBC=∠DBC,BC=BC, ∴△CGB≌△CDB(ASA), ∴CG=CD=2, ∴OG=OC﹣CG=1, ∴点G的坐标为(0,1), 设直线BP的解析式为y=kx+1, 将B(3,0)代入,得3k+1=0, 解得k=﹣1/3, ∴直线BP的解析式为y=﹣1/3x+1, 令﹣1/3x+1=﹣x^2+2x+3, 解得x1=-2/3,x2=3, ∵点P是抛物线对称轴x=1左侧的一点,即x<1, ∴x=﹣2/3, 把x=﹣2/3代入抛物线y=﹣x^2+2x+3中, 解得y=11/9, ∴当点P的坐标为(﹣2/3,11/9)时,满足∠PBC=∠DBC. 【总结】出现角等的条件时,可以将两角构造在全等三角形中,利用全等的性质解决问题。 类型二:利用三角形相似解决角度相等问题 例2 、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x^2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),直线y=﹣x+3恰好经过B,C两点 (1)写出点C的坐标; (2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标; (3)点P在抛物线对称轴上,抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB,求P坐标. 【分析】(1)由直线y=﹣x+3可求出C点坐标; (2)由B,C两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出抛物线的对称轴和A点坐标; (3)因为P在对称轴上,D为抛物线顶点,所以 PD垂直于x轴。△AFP为直角三角形。若∠APD=∠ACB,则作出辅助线AE垂直于BE,由三角形的两个角相等,证明△AEC∽△AFP。线段AE、CE、AF都可求,根据两边成比例,便可求出PF的长度,从而求出P点坐标. 【解答】解:(1)y=﹣x+3与y轴交于点C,故C(0,3). (2)∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C,析式为y=x^2﹣4x+3 ∴对称轴为x=2,点A(1,0). (3)由y=x^2﹣4x+3, 可得D(2,﹣1),A(1,0), ∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2, 可得△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,BC=3根2 如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F, ∴AF=1/2AB=1. 过点A作AE⊥BC于点E. ∴∠AEB=90度. 可得,BE=AE= 根2, CE=2根2 在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP. ∴AE/AF=CE/PF 解得PF=2. 或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3, 再得PF=2. ∵点P在抛物线的对称轴上, ∴点P的坐标为(2,2)或(2,﹣2). 【总结】出现角等的条件时,可以将两角构造在相似三角形中,利用相似对应边成比例的性质解决问题。这类问题也可以用三角函数解决。见类型三。 类型三、利用三角函数解决角度相等问题 例3、(2018·济南中考题改编)如图1,抛物线y=ax^2+bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m(m>4). (1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值; (2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值; 【解析】(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=1/2x^2﹣3x+4,作BG⊥CA,交CA的延长线于点G,证△GAB∽△OAC,据此知BG=2AG.在Rt△ABG中根据BG^2+AG^2=AB^2,可求得AG.继而可得BG,CG,根据正切函数定义可得答案; (2)由题意可得,∠BCD=45°,若∠ACP=45°,则∠ACB=∠PCD。即tan∠ACB=tan∠PCD。由(1)得tan∠ACB=1/3,所以tan∠PCD=1/3。过P做PH⊥CD于点H,设出P点坐标,列方程即可。 【解答】(1) 略tan∠ACB=1/3 (2)∵∠BCD=45° 若∠ACP=45°, 则∠ACP=∠PCD。 即tan∠ACP=tan∠PCD。 由(1)得tan∠ACB=1/3, ∴tan∠PCD=1/3。 过P做PH⊥CD于点H 设P(m,1/2m^2﹣3m+4) 则HC=m PH=4-1/2m^2+3m-4=-1/2m^2+3m ∵tan∠PCD=1/3 ∴ PH/HC=1/3 即(-1/2m^2+3m)/m=1/3 解得:m=16/3 或m=0(舍去) ∴ m=16/3 【总结】出现角等的条件时,即两个角的正切值相等。从而列出方程解决即可。这类问题也可以用相似解决,见类型二。 类型四:利用隐圆解决角度相等问题 例4、(2018 日照中考题改编)如图,点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax^ 2+bx+c上. (1)求抛物线解析式; (2)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入求得a的值即可 (2)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°,设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,依据勾股定理可求得⊙M的半径,然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点,从而可求得点M的坐标,然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标. 【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣1/3, ∴抛物线的解析式为y=﹣1/3x^2+x+1. (3)存在. ∵A(﹣1,0),C(0,1), ∴OC=OA=1 ∴∠BAC=45°. ∵∠BQC=∠BAC=45°, ∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点. 设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°. 设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,由勾股定理可知CM^2+BM^2=BC^2,即2x^2=10,解得:x=根5(负值已舍去), ∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x,AB的垂直平分线为直线x=1, ∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点,即M(1,﹣1), ∴Q的坐标为(1,﹣1﹣根5). 【总结】出现角等的条件时,根据题目出现的条件,利用同弧所对的圆周角相等或同弧的圆周角是圆心角的一半,构造圆形解决问题。 总之,解决角度问题方法灵活多样,涉及到的知识点繁多,需要多角度考虑问题。中考中,除角度相等外,还会出现角的倍数关系,下一篇我们来讨论这个问题。 |
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