思维导图法学数学——整式乘法与因式分解，学会这些才能拿满分！

图解解题方法

图解典型难题

7.1 逆用幂的运算法则

图解思路

规范解答

解后反思

处理类似的问题，关键是熟练掌握逆用幂的运算法则，首先要牢固理解并记忆幂的几种站算法则，即同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘法法则，在此基础上理解逆以上法则的条件:即指数相加可以运算为同底数幂相乘(a^m＋n＝a^m·aⁿ)、指数相减可以运算为同底数幂相除(a^m－n＝a^m÷aⁿ)、指数相乘可以运算为幂的乘方[a^mn＝(a^m)ⁿ＝(aⁿ)^m]、指数相同的幂的乘法可以运算为积的幂a^m·b^m＝ (a·b) ^m.

触类旁通

1.已知(x^m－1)²＝x¹²，则m＝ ；已知x^m＝a，xⁿ＝b，则x^m＋n＝ .

2.已知3^a＝5，9^b＝10，求3^a＋2b.

3.比较2⁵⁵、3⁴⁴、4³³的大小.

7.2 乘法公式

图解思路

规范解答

原式＝x＋(5y－9)][x－(5y－9)]

＝x²－(5y－9)²

＝x²－(25y²＋81－90y)

＝x²－25y²－81＋90y.

解后反思

对于多项式乘以多项式，我们可以利用法则，一项一项地乘开，这是基本的办法，

但是对于一些复杂的乘法，我们可以考虑利用乘法公式进行简便计算，常用的乘法公式有两个，一是完全平方公式，即(a±b)²＝a²±2ab＋b²:

二是平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a²－b²，用好这两个公式的关键是准确判断出谁是第一个字母a，谁是第二个字母b，两项乘以两项如此，三项乘以三项也如此.本题就是三项乘以三项，怎样确定谁是a，谁是b?

很简单，符号相同的是a，符号相反的是b.接下来，我们只要运用添括号法则进行分别即可.

图解思路

规范解答

原式＝(2－1)(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2²－1) (2²＋1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2⁴－1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2³²－1) (2³²＋1)＋1

＝2⁶⁴＋1－1

＝2⁶⁴.

解后反思

对于这样的题，我们肯定不能逐一运算，简便方法是什么呢?

还是乘法公式从结构上看，是多个乘积加上1，所以关键是前面的乘积如何站算，观察乘积的特点，

发现2的次数都是前一个的2倍，符合平方的特点，但一定不是完全平方基于这种考虑，

我们可以考虑用平方差公式但是并没有出现(a＋b)(a－b)的形式，怎么办呢?

我们可以添上去:给原来的乘积乘以(2－1).乘以(2－1)并不改变原式的大小，而且构造出平方差的结构.

图解思路

规范解答

解后反思

这样的问题是完全平方公式的典型例题，这类问题的最大特点是完全平方式当中的2ab这一项是常数，

我们就可以利用这个特点把原来的式子加以平方从面把次数变成原来的2倍，从而计算出想要的结果.

触类旁通

7.3分解因式

图解思路

规范解答

原式＝(x²＋x)²＋3(x²＋x)＋2－12

＝(x²＋x)²＋3(x²＋x) －10

＝(x²＋x＋5) (x²＋x－2)

＝(x²＋x＋5)(x＋2)(x－1).

解后反思

运用整体思想是分解因式过程中常用的一种重要思想方法，

所以，对一些看似比较复杂的多项式进行变形时，要注意观察是否存在相同的多项式.如果直接展开比较烦琐，这时就可以运用整体思想了，

类似的问题比如:用平方差公式直接分解(2x＋1)²－(x－1)²，用提公因式法(a－2b)(3a－b)－(a－2b)(a＋b)，用完全平方公式分解(a＋1)²－2(a＋1)＋1，等.

对于这样的问题，还需要注意的是，后续继续进行分解，要做到分解彻底，确保结果的每一个因式都不能再分解.

触类旁通

1.分解因式：(a²＋a) (a²＋a－1)－2.

2.分解因式：x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋1.

3.分解因式：(x＋2y)²－4(x－y)².

7.4配方法

图解思路

规范解答

原方程可化为(x²＋4x＋4－4)＋(y²－6y＋9－9)＋13＝0

所以(x＋2)²＋(y－3)²＝0

由非负性可知x＋2＝0，y－3＝0

所以x＝－2，y＝3.

所以x^y＝(－2)³＝－8.

解后反思

因为a²±2ab＋b²＝(a±b)²，所以习惯上，我们把二次三项式a²±2ab＋b²称为完全平方式.

这个二次三项式的构成条件是有两个数（或式）的平方和，即a²＋b²，还有一项是这两个数(或式)乘积的2倍，符合这样的条件，我们就可以把它写成完全平方的形式了，

这样变形的好处在于我们可以利用完全平方的非负性进行接下来的分析，因此，构造完全平方式即配方法就非常重要.

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参考书：《图解名校初中数学压轴题》，彭林[著]，上海社会科学院出版社。