在一次函数背景下探索菱形存在性

在一次函数背景下探索菱形存在性

特殊四边形的存在性，通常是压轴题的热门考点，给定一个或多个顶点，然后规定形状，然后探索剩余顶点在坐标系中的位置。基本的思路便是作图验证，这是一项十分有用的技能，在中考复习过程中，我发现，平时就认真作图的学生，这面对这类问题时，总能在第一时间准确找到辅助线，并且所寻找的点，大概念做以不重不漏，并非这些孩子有多聪明，实在是良好的学习习惯使然。下面以一道一次函数综合题为例，探索菱形存在性，而在这个过程中，学生暴露出的问题恰好验证了刚才我的结论。

题目

如图1，直线y=-3/4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处。

(1)求点B的坐标；

(2)如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；

(3)如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE是菱形，求点E的坐标。

解析：

(1)常规折叠环境下的求值，通常使用勾股定理列方程，不妨设OB=x，于是BC=x，而△AOD中，可用勾股定理求得AD=10，由折叠可知AC=AO=6，于是DC=4，因此在Rt△BCD中，三边均可用含x的代数式表示，列方程为x²+16=(8-x)²，解得x=3，于是B(3,0)；

(2)面对如此可爱的一个等腰直角三角形，不利用它来构造全等三角形真的很浪费，它的两条腰，还有那个直角，无不在暗示，快来构造全等！过点G和F分别向x轴作垂线GM和FN，如下图：

证明△DGM≌△FDN之后，注意到点G和点F均在直线AB上，而利用前一小题的结论，可求得AB的直线解析式为y=-2x+6，于是可设G(t,-2t+6)，由前面的全等三角形，DM=8-t=FN，GM=6-2t=DN，所以可求得F(2m+2,m-8)，将它也代入AB的解析式中，即可求得m=2，于是点G(2,2)；

(3)菱形只画出了一个顶点D，其余三个均未知，但是位置相对确定，P在直线AB上，Q在直线CD上，而E在x轴上，还特别限制了P和Q在第四象限，在这个限制下，DE铁定作为菱形的一条边而不是对角线，同时DQ与DE为邻边，那么PQ与DE为对边，好了，说了半天，首先确定哪个点呢？

通过以上分析，我们知道DP为相对的顶点，即DP为对角线，而菱形对角线有一个特点是平分一组对角，DE与DQ分别是菱形两邻边，则DP平分的那个内角其实就是x轴与直线AD所夹的那个钝角！因此只要作它的角平分线，与AB的交点就是P点，再过点P作x轴平行线得到Q，再过点P作CD的平行线，与x轴交点即为E，如下图：

而在解这一小题的时候，如果能充分利用特殊边长的直角三角形，则能事半功倍，就从那个△AOD开始，它的三边分别是6，8，10，因此三边比为3：4：5，我们作QH⊥x轴，所得△DQH同样也是边长比为3：4：5，点Q在直线AD上，于是我们可设Q(m,-3/4m+6)，那么HQ=3/4m-6，DH=m-8，DQ=5/4(m-8)=5/4m-10，菱形四边形相等，于是PQ=5/4m-10，可表示出点P坐标为(10-1/4m,-3/4m+6)，代入y=-2x+6求得m=16，所以Q(16,-6)，P(6,-6)，菱形边长为10，则点E(-2,0).

解题反思

在确定菱形的过程中，多个顶点不确定，需要分析题目条件，仔细读懂背后的意义，首先确定一个，再以它为基础，顺藤摸瓜确定剩下的顶点，同时，学会用字母表示点坐标及线段长度，是解析法的成功关键，尤其要注意符号，毕竟坐标有正有负，而线段长只能为正。

本题考察的知识点较多，勾股定理列方程，轴对称（折叠）变换，旋转变换（全等三角形），均属于常见的数形结合案例，所以，这类综合题，审题时要对图形有较深的理解，关键字词例如直线、线段背后的含义要明确。

而在实际寻找菱形顶点的过程中，作图是否标准也是决定最后成败的因素，平时有着良好的作图习惯，非常普遍地作图接近最后的结果，而随意性较大的学生，在试题图形中涂鸦几笔，连自己也看不清，重新作图，又不如原图标准，由此产生的审题误差实在是数不胜数。这个作图习惯，七年级就应该养成，课堂上无论绘制什么图形，请用直尺圆规铅笔等工具，宁愿初期牺牲一点课堂效率，把习惯养好，这到九年级，省的事儿可大了。