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亲 爱的小伙伴们，本期文章准备的时间太久了，久违了。1月7日，深圳疫情再次来袭，罗湖区在各区中最先考试，中小学已经放假，而其他区还在抗击疫情的前提下，紧锣密鼓进行着期末收官。谨以一篇随笔小文致敬为本次疫情坚守的罗湖人民，深圳人民。 真题速递 （2022年深圳市罗湖区期末考试）22、如图1，直线AB的解析式为y=kx+6，D点坐标为（8,0），O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上. （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，在x轴上是否存在点F，使△ABC与△ABF的面积相等，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图3，过点G（5,2）的直线l：y=mx+b，当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m的值.   解析： （1）根据题目分析，OA=6,OD=8,AD=10，求AB解析式，只需要求出B点坐标，即OB的长，考虑勾股定理，设OB=x,则BD=8-x,根据折叠的性质，如图，BC=OB=x, ,AC=OA=6,CD=4,在△BCD中，由勾股定理可得，BD²=BD²+CD²，易得OB=3,则y=-2x+6.  (2）根据题意，△ABO≌ABC，则O即是所求的第一个F点，当F在x轴运动时，△ABF和△ABO高相等，则只需要底边也相等，即BF=BO =3，则F2为（6，0）综上，F的坐标为（0，0），（6，0）.  （3）过G的直线与AB相交成45°角，如图，设交点为M,可以考虑以下两种情况，  因为夹角为特殊角，45°，考虑构造直角三角形。 如图，过B作BN⊥BA交直线GM于N,过M,N分别作x轴的垂线交x轴于H,I,  则△MBH≌△BNI,设OH=a, 则BH=3-a=NI，MH=-2a+6=BI， 则M(a, -2a+6),N(-2a+9,3-a) 把点M,N的坐标代入y=mx+b,得 -2a+6=ma+b ① 3-a=m(-2a+9)+b ② ②-①得，m(-3a+9)=a-3,m=-1/3 同理，如图，  过B作平行于y轴的直线l,过M,N分别作l垂线交l于H,I,则 △MBH≌△BNI 设HM=a,则BI=a,BH=IN=∣-2(a+3)+6∣=2a,则M(a+3,-2a),N(2a+3,a), 那M，N代入y=mx+b,得 -2a=m(a+3)+b ① a=m(2a+3)+b ② ②-①得 am=3a,m=3 综上所述，m=-1/3或3. 2 思考 尽管解出来这个题目，但是对于第三问，还是有很多想法： 问1  1、解决夹角45°（或其他特殊角度）的时候，构造直角三角形，进而利用一线三垂直构造全等或相似是通法。但在解决问题的过程中，笔者没有使用已知点G(5,2),而是将M,N分别代入一次函数解析式，刚好就得出了k的值。如果使用G(5,2)这个点，该如何呢？ 问2 2、构造等腰直角三角形过程中，笔者选择了过B作AB的垂线构造，还有别的构造方式么？在解决问题过程中，这几种构造方式一样么？都可选么？ 问3  3、我们能将此解法进行改进吗？ 我来回答这些问题，两直线45°夹角问题在初中数学里，构造等腰直角三角形，再通过一线三垂直的全等来解决是通法，实际上不只一种构造方式，并且应该每种方式都可以算出结论来，但是，选择从哪里作直角的时候，选择不一样，计算量不一样， 如下题，这是常见的一道题： 答 如图，在平面直角坐标系中，点A(12,0),B(0,4),点P是直线y=-x-1上一点，且∠ABP=45°,则点P的坐标为______. 常见构造全等解法如下： 对于构造等腰直角三角形，选择作的等腰三角形不一样，计算难度不一样，总结起来就是尽可能要让已知的点在全等中可用，因此第一种过A作AB的垂线最简单，因为此等腰直角三角形中，两个顶点已知，可以秒算出第三个顶点坐标。 问 回答完以上问题，我们还是要问，G（5，2）这个点有用没有？ 有用。当分析出过G的直线与AB夹角为45°有两种情况，统一起来如下图 则△GMN是等腰直角三角形，根据三垂直构造等腰全等，官方参考解答如下： 答1 实际上并没有什么用处，因为直线AB确定，直线与AB夹角为45°，则新的直线的倾斜程度也就是影响直线的m已经确定，并且所有的这些直线是平行的， 基于此，本题可以优化解答如下： 答2 过A作l∥GM，本题转化为求过A与AB夹角为45°的直线的解析式即可。 如图， 根据前面的分析，过B作BC垂直AB交l于C，过C作CD垂直x轴交x轴于D,则BD=OA=6,CD=OB=3,C(9,3),直线l解析 另一种情况可以用同样的方式进行平移，如图， 过A作l∥GM 此时l与AB夹角为45°，根据前面总结，过B作BC⊥AB交l于C,过B作直线n与y轴平行，过A,C分别作n的垂线交n于P,Q，如图，易得，CQ=PB,AP=OB=BQ,C点坐标（-3，-3） 易求直线l的解析式为y=3x+6,m=3. 3 简评 本道题在原题解析中涉及高中内容可以快速解决，在求出M,N坐标时，可以结合M,N,G共线，利用点斜式公式，根据共线k相等，从而解出a的值，进而求出直线GM的解析式，不仅求出了m,还求出了b的值。 本题由于是两直线的夹角，利用高中的夹角公式也可以快速求得与AB夹角为定值的两条直线的k的值，不管是斜率公式，还是夹角公式，我曾经说过，上得去是本事，下得来是能力。这两点都丝毫不影响本道题在初中数学几何中的地位。 作为压轴题，本题有两大亮点： 1、 第1问考查求函数解析式，通过折叠，勾股定理，求出线段长，求出点的坐标再求解析式，看起来有难度，但是在八上勾股定理练习到位的情景下，这只是中档题目。 2、 第3问45°夹角问题，相信平时老师也是练习讲评过相关题目，对于做等腰直角三角形，构造全等并不陌生，但是本题如果按照笔者的解析解答，还是很有难度的，由于交点不是已知点，一是计算量不小，二是代换过程中，关于M,N，G三点的处理如何才是合适，所以，学生在解答过程中会出现自我否定的心理建设，到底该如何操作？当然，能像参考答案一样，把两种解答都统一在一起，一个等腰直角三角形就解决问题，对计算和思维的要求就更高一些。 本题最大的亮点就是这个看起来可以有用和可以没有用的G(5,2)这个点，只求m的值为不同思维层次的学生提供了不同的切入点，需要的只是和AB相交成45°，不一定非要过G点，从而可以进一步进行转化。如果训练到位，哪怕是求直线的解析式，如果能够先平移求得m再回过来代入G点求值，就是思维的更高层次了。 当然，也有一点不足，这也是我们争论比较多的地方，本题可以用高中的公式解决，初中阶段我们对这样用法有没有限制或要求？要求吧？会不会限制了学生的能力？不要求吧？对于之前我们所有讨论的都没有意义了，承担思维训练的本题就成为一个技巧可以解决的题目了。当然，如果此类题目出现在几何探究类题目中，几何代入感就更强。所以，建议：在命题方向上看，是不是可以考虑全等与几何综合的探究题？结合勾股定理？ 4 后记 八上，函数只学了一次函数，几何方面只学了全等，勾股定理，所以代几综合题的选择余地不大，一般，第一问求解析式，第二问面积相关，第三问，45°问题，或者是等腰三角形、直角三角形的存在性问题。刚刚结束的南山区和宝安区的压轴题，考查了等腰直角三角形的存在性问题，我们是不是可以快速解决呢？ （2022南山区八年级期末数学）22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（3,0），点P为直线AB上方第一象限内的动点. （1）求直线AB的表达式和点A的坐标 （2）点P为直线x=2上一动点，当△ABP的面积与△ABO面积相等时，求点P的坐标 （3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标. （2022宝安区八年级期末数学）22.如图，平面直角坐标系中，直线:y＝3/4x与直线:y＝kx＋b相交于点 A（a，3），直线l1交y轴于点B（0，－5）。 （1）求直线l2的解析式； （2）将ΔOAB沿直线l2翻折得到ΔCAB（其中点0的对应点为点C），求证：ACIIOB （3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标。 【注】转自《袁朝川教师工作室 》公众号。
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