中考冲刺，平移法求两类最值难题，期待来挑战

我们知道将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换、等积变换以及反演变换.在一个几何变换下，如果任意两点之间的距离等于变化后的两点之间的距离，则称之为合同变换.合同变换只改变图形的相对位置，不改变其形状和大小.合同变换有三种基本类型：平移变换，轴反射变换，旋转变换。

而对于某些平面几何问题，由于图形中的几何性质比较隐晦，条件分散，题设与结论间的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现，使之难以思考而感到束手无策.如果我们能对图形作各种恰当的变换，把原图形或原图形中的一部分从原来的位置变换到另一个位置，或作某种变化，往往能使图形的几何性质明白显现，分散的条件得到汇聚，就能使题设和结论中的元素由分散变为集中，相互间的关系变得清楚明了，从而能将求解问题灵活转化，变难为易.我们把这种恰当地进行图形变换来求解平面几何问题的方法称为几何变换法.下面主要针对平移法求解两类几何最值问题，通过例题分析谈一下看法。

我们先看一下利用这一方法起源吧，它源于于经典几何最值模型---将军饮马问题的变换形式。

将军饮马模型：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为'将军饮马'的问题便流传至今．

我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．

在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：两点之间，线段最短．垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．

下面我们通过对将军饮马模型两个变形应用，就可体会到平移思想带来解题魅力.【变式1】若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？

我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．

本题若作点A关于l的对称点A'，连接A'C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A'C共线？完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．

或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．

如图，作点A关于l的对称点A'，将点B向左平移CD的长度到点B'(实际为200米)，连接A' B'，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．

【变式2】将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？图中灰紫色部分即为长30米的浮桥．

我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．

由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．

我们可以想成从军营出发先'渡河'，即沿CD方向行30米至点A'，再考虑'两点之间，线段最短'．

如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A'，连接A'B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．

此时AC＝ A'D，而A'D＋DB＝A'B，最短.

我们初步可以体会到这两个变式问题都涉沿河边散步的问题，有造桥选址问题的求解，共同之处但无外乎涉及到一个'平移'的思想方法，结合'两点之间，线段最短'解决，另外，有时还需考虑'垂线段最短',下面我们深入探究平移思想在将军饮马模型问题应用吧,我们更能体会到平移带来转化能力的威力。

类型1 一动两定型

1．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）

变式1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（0，4），将线段AB向右平移，则在平移过程中，AC+BC的最小值是 ______．

2．已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（ ）

A．2√13B．1+3√5C．3+√37D．√85

【解答】本题考查了轴对称，最短路径问题，要利用'两点之间线段最短'，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．

如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．

变式3，点B到直线b的距离为2，AB＝3√11．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a，当AM+MN+NB的值最小时，则AM+NB＝______ ．

类型2 两动两定型

3.如图，在矩形ABCD中，BC=3,AB=4,点E为边AB的中点，若点M,N为边BC上的两动点，MN=2,求四边形DEMN周长的最小值.

变式4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为（ ）

变式5．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝9，AD＝18，M，N是直线BC上的动点，且MN＝3，则OM+ON最小值＝______ ．

【解析】如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ＝3，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON，

当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，

连接PO，交BC于E，由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，

又∵矩形ABCD中，OB＝OC，∴E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝1/2AB＝4.5，∴OP＝2×4.5＝9，

又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，由勾股定理可求得OQ＝3√10，

∴OM+ON的最小值是3√10，故答案为：3√10．

变式6．正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝√2，求四边形EMNF周长的最小值 ______．

【解析】：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝√2，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，

最后如用口诀来浓缩总结这类问题求解策略，那就是：造桥散步怎么办，想到平移就不难。若问万般适用法，两点线段垂最短.