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可能有很多人认为高深的数学理论往往是空中楼阁一般的存在，和我们实际的生活不会有多大的联系。当然，这样的想法肯定是不对的，即使曾经被英国著名数学家哈代认为没有任何实际用处的数论如今也在多个领域(如密码学)发挥着巨大的作用。 近现代几何学自黎曼几何创立以来，面貌焕然一新，但由于黎曼几何学思想超前，在几十年之内竟被束之高阁，鲜有人问津，直到在爱因斯坦的相对论理论中发挥建设性作用之后才开始被广泛重视和发展，到如今已经发展成为了一套成熟的数学体系。几何学自古以来都是和实际生活紧密相关的数学，在当代科技中，以黎曼几何为代表的现代几何学充分发挥了自身理论的巨大威力，促进了一系列技术的发展。今天我们就以新兴的3D技术为例，介绍一下几何学原理的应用。 共形几何处理三维图像时所需的一个重要工具是微分几何中的共形几何，而所谓共形几何，形象一点来说，就是在几何变换下保持向量夹角不变的几何学，类似于图形的相似变换。这对图像的处理来说，很多时候是很关键的，例如照相机成像，起码我们得保证得到的图像形状和原来是一样的。那么，为什么要进行共形变换？它的优点在什么地方？ 首先根据共形几何的理论，任何一个三维图形都具有唯一的共形结构，也就是说，两个“不一样”的几何对象是无法通过共形映射建立一一对应。这其中就涉及到共形几何的单值化理论，还要涉及到黎曼曲面的理论。 我们知道，对一个复函数进行开根，可能会得到一个多值函数，怎样处理这些多值函数在数学上实际上很关键，为此，黎曼在差不多150年前提出了黎曼曲面的概念，统一处理了单值化的问题。这样操作之后，一个复杂的图像就可以共形映射到一个相对简单的图形，例如球面，平面或双曲面。在这样的变换过程中，一些著名的定理也发挥了作用，例如庞加莱单值化定理：任何紧致的二维度量曲面一定可以共形映射到二维常曲率曲面上。利用这些理论，复杂的问题就可以转化为相对简单的情况，也就方便处理了。 一个不是平展的二维平面，例如人脸，是不能直接展开铺在普通平面上的，但通过一个非线性的共形映射，就可以做到这一点，而且图形的平面形状再加之这个共形映射，是可以完全确定原来的图形。通过共形映射降低维度，也可以大大减少信息量和复杂程度，同时也不会损失有用的信息。这些都是如今进行照相机成像，人脸识别等图像处理的最基本原理。没有建立在这些理论基础上的技术和算法，那么很难得到高质量的照片，而照片正是要把三维的图像以二维的方式来呈现。 几何逼近同时，构造良好的三角剖分也是处理图像的一个重要过程，这就涉及到几何逼近的理论。进行人脸识别或3D打印时，我们所得到的数据不过是一些点集，怎样从这些点集去还原原始图像信息是核心问题。一个自然的想法是将这些点连接起来，得到很多基本三角形区域，也就是三角剖分。进行三角剖分的方法很多，但好的三角剖分才能尽可能少的损失信息，这里的一个基本要点是要使得三角剖分后的平均曲率收敛。同时，怎样有效控制图像上的奇点也是关键，例如人脸上的鼻子，嘴角等地方。进行这样的处理甚至会用到Ricci流的理论，而Ricci流理论正是证明百年难题庞加莱猜想时用到的高深数学理论。 有时候，可能还需要建立一些保持面积不变的映射，例如检测大脑皮层病变时，一个区域面积的变化是判断某些疾病的一大标准。但对于大脑皮层这样极度复杂的曲面，想要实现这一点，所利用的几何原理也是多种多样的。 离散几何最近几十年，随着计算机和网络的飞速发展，几何学在其中也发挥了意想不到的作用。传统的几何学处理的都是连续甚至光滑的数学对象，但正如上面所说，很多时候，我们采集得到的数据只是一些离散的点集，在利用传统几何和拓扑理论处理这些问题的推动下，催生了离散几何这样的全新数学分支，一些几何概念，例如曲率，测地线等，又得到了推广。 例如网络整体结构所组成的几何对象，它们的状态完全可以通过几何学的方法来决定，负曲率的点是主干，而正曲率的点则是它连接起来的局部簇。在网络拥挤的地方，这些点具有负曲率，但负曲率区域的测地线比较稳定，因而结构也比较稳定，可以承受一定强度的拥挤。 处理这些复杂的信息需要非常多的数学理论，但如何把这些理论运用到实际也是个很大的问题。现在有个很时髦的词叫“算法”，就像华为曾经说过的，华为的世界一流拍照技术实际上就是靠数学家算出来的，所以不难想象为什么数学家会成为很多科技公司的核心。发展科技必须建立在可靠的理论基础上，就像建筑的地基一样。如果不能深入了解，研究和掌握基础原理，那么就很难创造出原创和领先的技术。 当然，今天所说的这些几何学原理连冰山一角都算不上，只不过算是管中窥豹，感受一下数学所发挥的巨大作用。 |
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