2019高考100题之004(分段函数）

       分段函数一般考查函数的单调性、函数值域、方程的根、函数的零点、函数图象的交点、不等式的解集、切线问题等等，分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归、函数与方程这四大思想被利用的淋漓精致。

       大家可以把近几年的天津卷找来做做，天津的命题老师就好分段函数这一口，天津的题会做了，基本上就妥了。

       另外，很多好题我都在前两年写了，所以我尽量挑选这两年的高考题，可能有的看上去没有之前的题那么经典，但是基本上也能把要的东西说出来。

       分析：

       分段函数一般离不开画图象，很多题画了图象基本上就八九不离十了，由a>0，可以大致画出图象如下图所示。

    当x≤0时，联立y=x²+2ax+a与y=ax，得x²+ax+a=0，该方程如果有根，由韦达定理得只能是负根，由判别式不小于零，解得a≥4，其中a=4时，方程只有一个根，直线和抛物线相切。

     当x>0时，联立y=-x²+2ax-2a与y=ax，得x²-ax+2a=0，该方程如果有根，由韦达定理得只能是正根，由判别式不小于零，解得a≥8，其中a=8时，方程只有一个根，直线和抛物线相切。

       如上图，画出数轴，可以看出：

       a=4时，y=ax与y=f(x)的y轴左侧抛物线相切，与y轴右侧抛物线相离；

       4<a<8时，y=ax与y=f(x)的y轴左侧抛物线有两个交点，与y轴右侧抛物线相离；

       a=8时，y=ax与y=f(x)的y轴左侧抛物线有两个交点，与y轴右侧抛物线相切；

       a>8时，y=ax与y=f(x)的y轴左侧抛物线有两个交点，与y轴右侧抛物线有两个交点。

       所以要使得f(x)=ax有两个不等的实根，a的取值范围应该是(4,8)。

       对于集合交并的问题，聪明的同学可能一眼就看出答案了，而我反应慢一点，所以比较喜欢画出数轴，然后拿出一把尺子，竖着从左到右滑动，争取不遗漏任何一个点，特别是答案的开闭问题很关键，对于小题来说，开闭出了问题，就是零分了。

       更多分段函数问题可以参考：

       2018高考数学100弹之第25弹：分段函数 。