2019高考100题之020(由导函数求原函数)

       由导函数求原函数，大家第一反应是求定积分，但是现在高考的积分基本上属于打酱油的地位，所以我们不介绍这个，我们主要介绍由两个函数的积或者商得到的新函数的导函数，来探究原函数单调性，然后解决不等式的小题。

       这类题在几年前特别流行，现在也淡化了。

       比较常见的类型有下面两类：

       第一类：

[xⁿf(x)]'=nx^n-1f(x)+xⁿf'(x)=x^n-1[nf(x)+xf'(x)]；

[f(x)/xⁿ]'=[f'(x)xⁿ-nx^n-1f(x)]/x²ⁿ=[xf'(x)-nf(x)]/xⁿ⁺¹。

       结论：当我们看到形如nf(x)±xf'(x)的结构的时候，就要联想到xⁿf(x)或f(x)/xⁿ。

      第二类：

 [e^xf(x)]'=e^xf(x)+e^xf'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]；

[f(x)/e^x]'=[e^xf'(x)-e^xf(x)]/e^2x=[f'(x)-f(x)]/e^x。

       结论：当看到形如f(x)±f'(x)的结构的时候，就要联想到e^xf(x)或f(x)/e^x。

       分析：

       这是一道选择题，所以选出答案还是比较简单的，首先由f(0)>0可知B和D选项排除。

       再结合原不等式，可以发现如果f(x)=x²，只有x=0不符合该不等式，所以只需要将f(x)=x²稍微往上平移一点点，比如f(x)=x²+0.001就符合原不等式的，但是显然f(x)>x不恒成立，所以只能选A。

       上述是作为小题的做法，正常做法如下：

       由上述的结论，观察左侧，能联想到函数x²f(x)。

       可知当x>0时，[x²f(x)]'>x³>0，当x<0时，[x²f(x)]'<x³<0。

       所以x²f(x)在x>0时为增函数，在x<0时为减函数。

       所以x²f(x)>0，又f(0)>0，所以f(x)>0在R上恒成立。

       该类问题题型变幻多端，大家不能太教条，要灵活去应用，而且都以小题的形式出现，要善于小题小做。

       函数问题千万道，不可能面面俱到，大家还得自己多做多想，明天开始介绍解析几何。

       之前所有和函数有关的文章按时间先后的顺序如下：

三十天冲刺（二十二）——《函数切线问题》

三十天冲刺（二十一）——《分段函数、绝对值不等式》

三十天冲刺（二十）——《函数零点、方程的根、不等式的解》

三十天冲刺（十九）——《函数的对称性周期性》

三十天冲刺(十八)——《函数图象、单调性与值域》

2017全国2卷文科导数大题分析

再谈函数f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)

初学者要通过带特值去理解抽象函数

通过多次求导避开放缩问题

导数中的放缩问题（一）

导数中的放缩问题（二）

函数的凸凹问题

f(x)=-f(x+1)是2为函数f(x)的周期的什么条件？

初学导数要注意的几个误区

2018高考数学100弹之第5弹：选择题中的函数图象

2018高考数学100弹之第6弹：初等函数的复合

2018高考数学100弹之第7弹：二次函数的零点分布

2018高考数学100弹之第9弹：求导研究函数单调性

2018高考数学100弹之第10弹：二次函数的值域

2018高考数学100弹之第12弹：双基第16题再分析

2018高考数学100弹之第14弹：函数的零点问题

2018高考数学100弹之第15弹：函数与方程

2018高考数学100弹之第16弹：函数与不等式

2018高考数学100弹之第17弹：函数与切线

2018高考数学100弹之第18弹：e^x与x的关系之引申

2018高考数学100弹之第19弹：以拉格朗日中值定理为背景的高考题

2018高考数学100弹之第20弹：以洛必达法则为背景的高考题

2018高考数学100弹之第21弹：函数的对称问题

2018高考数学100弹之第22弹：函数的偏对称问题

2018高考数学100弹之第23弹：函数的周期问题

2018高考数学100弹之第24弹：抽象函数问题

2018高考数学100弹之第25弹：分段函数

2018高考数学100弹之第26弹：三次函数的图象与性质

2018高考数学100弹之第83弹：回归教材之函数

2018高考数学100弹之第84弹：回归教材之导数

2019高考100题之001(函数的性质1)

2019高考100题之002(函数的性质2)

2019高考100题之003(复合函数)

2019高考100题之004(分段函数）

2019高考100题之005(指数、对数函数及运算)

2019高考100题之006(函数的最值)

2019高考100题之007(函数的极值)

2019高考100题之008(函数的切线)

2019高考100题之009(函数的零点1)

2019高考100题之010(函数的零点2)

2019高考100题之011(函数的零点3)

2019高考100题之012(函数的零点4)

2019高考100题之013(函数的零点5)

2019高考100题之014(函数的零点6)

2019高考100题之015(怎么和指对数函数搭讪)

2019高考100题之016(放缩问题)

2019高考100题之017(该不该分离变量)

2019高考100题之018(导数与数列)

2019高考100题之019(导数与三角函数)