【原】第26讲：《定积分的性质与微积分基本公式》内容小结、课件与典型例题与练习

一、定积分的主要性质及使用说明

1、线性运算性质

(1)常数可以提到积分符号外面来计算积分；

(2)函数和与差的积分等于积分的和与差；反过来，积分上下限相同的两个积分的和与差等于两个积分的被积函数的和与差的积分.

 

2、积分对区间的可加性

只要积分在各区间上可积，则可以在积分上下限中间插入任意点(各点的值不一定位于上下限之间)，构成的各区间上定积分和等于原积分，即

【注】同样，左边可以得到右边，右边也可以得到左边

 

3、保号性与保序性

(1) 积分下限小于积分上限，被积函数大于等于0，积分值大于等于0.

(2) 连续函数大于等于0，不恒等于0，则积分大于0.

(3) 连续函数不变号，积分值等于0，则函数恒等于0.

(4) 由保号性推出：保序性、绝对值不等式(积分的绝对值小于等于绝对值的积分)、估值定理、积分中值定理(估值定理和介值定理得到积分中值定理，函数的平均值).

(5) 如果 ，且，则

二、定积分性质相关问题的探讨

1、与定积分不等式命题相关的证明考虑积分性质中的保号性中的几个结论(保号性、保序性、绝对值不等式、估值定理和积分中值定理)

 

2、与定积分、被积函数和积分区间相关的命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理架起了定积分与被积函数和积分区间之间的桥梁，使得定积分的研究可以转换为被积函数来研究. 

 

3、对于包含积分的绝对值，或绝对值的积分，一般考虑积分绝对值不等式和三角不等式来探索证明思路与方法.

 

4、不可积函数相关积分式的结论探索一般可以考虑应用估值定理、积分中值定理，通过探索被积函数的性质来探索可能的思路.

三、微积分基本公式

设在上连续，是在上的一个原函数，则

【注1】以上结论揭示了积分学中定积分、原函数、被积函数与积分区间之间的联系. 同时，也可以看到，可积函数的定积分的计算最终转换为被积函数原函数的计算. 

【注2】由以上公式可知，函数值的差可以由拉格朗日中值定理转换为导数值乘以自变量的差，也可以转换为导函数的定积分描述，即

根据问题结论或条件选择改写左右方向. 

【注3】对于包含绝对值的函数、最值函数、符号函数、取整函数等非初等函数描述形式描述的函数，一般写出其分段初等函数的描述形式，借助积分的可加性，分区间分别积分再求和，或者借助定积分的性质或计算性质简化、转换积分计算.

 

更详细的定积分概念及相关性质的探讨可以参见专题推文：

• 专题(14)：《定积分》概念、性质应用与变限积分解题思路、题型与典型题分析