【原】2022年高考精彩小题系列1：新高考1卷12

今年高考，小题同样精彩.

来看新高考1卷的12题.

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原奇导偶，原偶导奇

原函数是奇函数，导函数为偶函数；

原函数是偶函数，导函数为奇函数.

很多朋友对这个小结论不陌生，怎么证明呢？

其实也不复杂.

设f(x)的导函数为g(x)，即g(x)=f'(x).

1. 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x).
   
   

两边求导得，-f'(-x)=-f'(x)，即g(-x)=g(x)，所以g(x)为偶函数.

2.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x).

两边求导得，-f'(-x)=f'(x)，即-g(-x)=g(x)，所以g(x)为奇函数.

注意，逆命题不一定成立.

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结论拓展

以上结论的另外一种表述是：

1.若原函数f(x)关于(0,0)对称，则导函数g(x)关于x=0对称;

2.若原函数f(x)关于x=0对称，则导函数g(x)关于(0,0)对称.

以上对称轴、对称中心进一步拓展到其他数值.

即，我们能够把0替换为其他数值.

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函数方程的含义

含有未知数的等式叫做方程；含有未知函数的等式叫函数方程.

比如f(1-x)=f(1+x),就是一个函数方程.

我在前面写过这方面的问题，有兴趣的读者可以找一找.