2019高考100题之055(三角函数2)

    分析：

       这道题是高考前我让学生必做的，其实也就是回归教材时必须要完成的任务中的一项.

 老版教材首先推导的是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，新教材首先推导是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，不管是推哪个，很多同学看到这道题的第一反应是：我去，用了这么多年的公式咋来的呀？

       所以大家一定要在未来一个月好好回归教材，教材上所有的结论，只要有推导过程，你都要独立完成一遍.

    老版教材推导cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ的过程如下：

       如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，角α、-β、α+β终边与圆O交点为B、C、D，点A(1,0)，显然可得|AD|=|BC|，由两点间距离公式即可得到结论，这个证法很难想到.

       所以新版教材采用的是向量法来证明的，这也是必修四中间插了一章向量的主要原因.

      如下图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，角α、β终边与圆O交点为A、B，设向量OA和OB的夹角为θ，由向量数量积的定义及坐标表示，可得cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ，而显然cosθ=cos(α-β)，得证.

       不管先得到哪一个，只需将β换成-β即可得到另一个.

  而由诱导公式sinα=cos(π/2-α)可得sin(α+β)=cos[π/2-(α+β)]=cos[(π/2-α)-β]，打开化简即可得到两角和的正弦公式.

       上述公式是三角恒等变换的基础，后续二倍角公式、辅助角公式都是由其推导出来的，甚至如果你诱导公式记不住了，也可以通过其推导.

       所以我们不但要会证明它，更要会熟练使用.