三角函数的和差角公式能否不用向量推导？

（应邀）

推导三角函数的和差角公式的方法很多，我们先不妨回顾一下用向量推导三角函数和差角公式：

---

用向量推导

令：

a = (cos α, sin α), b = (cos β, sin β)

则，

|a|= |b| = 1

∠ab = α - β

根据，向量内积公式：

有：

cos α cos β sin α sin β = a⋅b = |a||b|cos ∠ab = 1⋅1⋅cos(α - β) = cos(α - β)

即，

cos(α - β) = cos α cos β sin α sin β

令，β = - β 带入上式，并利用诱导公式：

cos(-x) = cos x

sin(-x) = sin x

得到：

cos(α β) = cos α cos(-β) sin α sin(-β) = cos α cos β - sin α sin β

即，

cos(α β) = cos α cos β - sin α sin β

令，β = π/2 - β 带入上式，并利用诱导公式：

cos(π/2 ± x) = ∓ sin x

sin(π/2 ± x) = cos x

得到：

- sin(α - β) = cos(π/2 α - β) = cos(α π/2 - β) = cos α cos(π/2 - β) - sin α sin(π/2 - β) = cos α sin β - sin α cos β

即，

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

令，β = - β 带入上式，得到：

sin(α β) = sin α cos(-β) - cos α sin(-β) = sin α cos β cos α sin β

即，

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β

---

这个推导过程中，只有余弦差角公式： cos(α - β) = cos α cos β sin α sin β 是利用 向量推导出来的，剩下的 三个和差角公式，是基于这个公式，利用诱导公式推导得到的。后续三个公式的推导 是可逆的，这说明：只需要推导出 四个和差角公式的一个就很容易推导出其他和差角公式。

接着，我们来看看除了用向量以外的其它推导方法：

---

用矩形图推导

绘制如下矩形图：

由矩形左右对边长度相当得到：

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β

由矩形上下对边长度相当得到：

cos α cos β = cos(α β) sin α sin β

即，

cos(α β) = cos α cos β - sin α sin β

---

当然，也可以绘制如下矩形图：

得到联立方程：

sin α = sin(α - β) cos β cos(α - β) sin β ①

cos(α - β) cos β = cos α sin(α - β) sin β ②

①式两边 乘以 cos β ， ②式两边 乘以 sin β，然后结果相加，有：

sin α cos β cos(α - β) cos β sin β = sin(α - β) cos² β cos(α - β) sin β cos β cos α sin β sin(α - β) sin² β

sin α cos β = sin(α - β) (cos² β sin² β) cos α sin β

sin α cos β = sin(α - β) cos α sin β

即，

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

类似的，①式两边 乘以 sin β ， ②式两边 乘以 cos β，然后结果相减，化简后，可以得到：

cos(α - β) = cos α cos β sin α sin β

---

也可以，直接 令 α = α β ，代入 ① 和 ② 分别有：

sin(α β) = sin(α β - β) cos β cos (α β - β) sin β = sin α cos β cos α sin β

cos α cos β = cos(α β - β) cos β = cos(α β) sin(α β - β) sin β = cos(α β) sin α sin β

即，得到：

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β

cos(α β) = cos α cos β - sin α sin β

用欧拉公式推导

根据，欧拉公式：

可以，设：

将上面等式相乘，有：

而：

于是，有：

比较等式两边，实部=实部，虚部=虚部，于是得到：

cos(α β) = cos α cos β - sin α sin β

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β

---

当然，也可以 令，x = -x 带入 欧拉公式得到：然后将 欧拉公式 与 上式 相加，化简得到：令，x = α β，带入上式，有：

类似的，令，x = α - β，带入等式 (2)，化简，可以得到：

cos(α - β) = cos α cos β sin α sin β

另外， 将 欧拉公式 与 式(1) 相减，可得到：

然后，用上面的方法，可以得到剩下的两个 和差角公式。

用行列式性质推导

设， 边长为 1 平行四边形 AOBC，如下图：

其中，A = (cos α, sin α), B = (cos β, sin β)，根据线性代数的知识，我们知道行列式：就是 平行四边形 AOBC 的面积，即，另外，由 平行四边形 面积公式，有：故，得到：

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

用半圆图推导

绘制如下半圆图：

有：

即，

sin(α β) sin β = cos α - cos(α β) cos β

令，α = α - β 带入上式 得到：

sin(α - β β) sin β = cos(α - β) - cos(α - β β) cos β

sin α sin β = cos(α - β) - cos α cos β

即，

cos(α - β) = cos α cos β sin α sin β

类似的，利用 |BD| = |BE| |DE|，也可得到同样的结果。

用平面几何知识推导

过原点的，任意两条射线 OA 和 OB，夹角 ∠AOB = β，OB 于 OX 轴的 夹角 ∠BOX = α，OA 与单位圆 相交于 A 点，过 A 点 分别 做 OX 和 OB 的垂线 OC 与 KD，过 D点 左 OX 的垂线 DE，过 A 点 作 DE 的垂线 AF，绘制图形如下：

首先， ABCD 显然为矩形，于是有 |AF| = |EC| 并且 AF // EC。

然后，由 ∠ OAD = π/2 - β， ∠ OAC = π/2 - ∠ AOC = π/2 - (α - β)，得到：

∠ CAK = π - (∠ OAD ∠ OAC) = π - (π/2 - β π/2 - (α - β)) = α

故，

∠ OKA = π/2 - α

再 由 AF // EC，知：

∠ DAF = ∠ OKA = π/2 - α

接着，有：

|OC| = |OE| |EC| = |OE| |AF|

其中，

|OC| = cos(α - β)；

|OE| = |OF|cos α = cos β cos α = cos α cos β

|AF| = |AD| cos(π/2 - α) = sin β sin α = sin α sin β

于是，得到：

cos(α - β) = cos α cos β sin α sin β

---

（利用 平面几何知识推导 差角公式的方法 不止这一种，还有很多很多！）