2019高考100题之063(极坐标)

    分析：

    如果你对过原点的直线的参数方程(x=tcosθ，y=tsinθ（参数t∈R))理解透彻了，那么极坐标也就没有任何问题了，特别是对于ρ<0的理解，就和t<0类似.

    教材上说了不作特殊说明，ρ都是大于零的，你可别信它的，比如上面这道题.

    对于第一问，将极坐标方程化为平面直角坐标方程，得到C₂是圆心为(0,1)，半径为1的圆；C₃是圆心为(√3,0)，半径为√3的圆.

    联立方程组可得交点坐标为(0,0),(√3/3,3/2).

    结合图形，可以看出原点是其中的一个交点.

    可是如果联立ρ=2sinθ和ρ=2√3cosθ，得到2sinθ=2√3cosθ，可以发现只能解出P点，解不出极点.

    这是因为原点在极坐标系中的坐标为(0,θ)，其中θ可以是任何值.

    对于ρ=2sinθ，结合图形可得极点坐标为(0,0).

    对于ρ=2√3cosθ ，结合图形可得极点坐标为(0,π/2).

    显然联立这二者是不可能解出极点的.

    所以大家一定要数形结合，不可以想当然.

    对于第二问， 当α=0时，|AB|=2√3；α=π/2时，|AB|=2.

   当0<α<π/2时，A和B都在第一象限，此时2sinθ>0，2√3cosθ>0，|AB|=|2sinθ-2√3cosθ|.

    当π/2<α<π时，A在第二象限，B在第四象限，此时2sinθ>0，2√3cosθ<0，|AB|仍然为|2sinθ-2√3cosθ|.

    综上，|AB|为|2sinθ-2√3cosθ|=4|sin(θ-π/3)|，θ-π/3∈[-π/3,2π/3)，当θ-π/3=π/2即θ=5π/6时，|AB|取到最大值4.

    上面分析的比较细，不代表考试时你也需要写这么细，你只需直接说出|AB|的表达式即可，不用分情况讨论.

    我只是想让大家清楚极坐标中ρ取负数时的意义，以及上述两个ρ作差的原因.

  如果你无法接受ρ<0，对于π/2<α<π时，|OA|=2sinθ，|OB|应该写成2√3cos(θ+π).

     所以

    |AB|=2sinθ +2√3cos(θ+π)=2sinθ -2√3cosθ，结果还是一样的.