初三数学教案 二次函数与一元二次方程 23.4 二次函数与一元二次方程 教学目标: 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。 重点、难点: 二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。 教学过程: 一、 情境创设 一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标 问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点? 问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点?可以借助什么来研究? 二、探索活动 活动一 观察 在直角坐标系中任意取三点A、B、C,测出它们的纵坐标,分别记作a、b、c,以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象,观察它与x轴交点数量的情况;任意改变a、b、c值后,观察交点数量变化情况。 活动二 观察与探索 如图1,观察二次函数y=x2-x-6的图象,回答问题: (1)图象与x轴的交点的坐标为A ( , ),B( , ) (2)当x= 时,函数值y=0。 (3)求方程x2-x-6=0的解。 (4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系? 活动三 猜想和归纳 (1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗?猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。 (2)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断? 这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。 三、例题分析 例1.不画图象,判断下列函数与x轴交点情况。 (1) y=x2-10x+25 (2) y=3x2-4x+2 (3) y=-2x2+3x-1 例2.已知二次函数y=mx2+x-1 (1)当m为何值时,图象与x轴有两个交点 (2)当m为何值时,图象与x轴有一个交点? (3)当m为何值时,图象与x轴无交点? 四、拓展练习 1. 如图2,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。 (1)请写出方程ax2+bx+c=0的根 (2)列举一个二次函数,使其图象与x轴交于(1,0)和(4, 0),且适合这个图象。 2. 列举一个二次函数,使其图象开口向上,且与x轴交于(-2,0)和(1,0) 五、小结 这节课我们有哪些收获? 六、作业 求证:二次函数y= x2+ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的交点。 |
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