一位高中数学教师眼中的“八卦”

今年，《周易》八卦图走进了数学全国高考理科试卷！

在全国卷I理科卷就有这样一道分值为5分的选择题：

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化和发展的规律，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分阳爻“——”和阴爻“——”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是：

A、5/16；B、11/32；C、21/32；D、11/16。

读过《周易》的朋友大概都有一些印象，《周易》中，按阴阳爻的比例，可将六十四卦分为七种，即：

0个阳爻（6个阴爻）；

1个阳爻（5个阴爻）；

2个阳爻（4个阴爻）；

3个阳爻（3个阴爻）；

4个阳爻（2个阴爻）；

5个阳爻（1个阴爻）；

6个阳爻（0个阴爻）。

其数量分别如下：

0个阳爻的卦有1个；

1个阳爻的卦有6个；

2个阳爻的卦有15个；

3个阳爻的卦有20个；

4个阳爻的卦有15个；

5个阳爻的卦有6个；

6个阳爻的卦有1个。

而这一题所说“恰有3个阳爻的概率”就是“3个阳爻（3个阴爻）的卦”，其数量为20个。而六十四卦总卦数是64个，20除以64，结果就是5/16，答案是A。

这个卦是地风——《升》卦，《升》卦是《易经》六十四卦的第四十六卦。浅解：地风升（升卦）柔顺谦虚，上上卦。象曰：士人来占必得名，生意买卖也兴隆，匠艺逢之交易好，农间庄稼亦收成。这个卦是异卦相叠（下巽上坤）。坤为地、为顺；巽为木、为逊。大地生长树木，逐的成长，日渐高大成材，喻事业步步高升，前程远大，故名“升”。

从中可以看到出题者对国学的理解之深、对学子的美好祝福。

《周易》也叫《易经》，是中华文化的核心经典，但是，经常被人误解为“封建迷信”的书籍。记得小时候看到八卦图就觉得它神秘，四周有“鬼”画的八个长短线符号，中间有一黑一白两条鱼，黑色那条有白色的眼睛，白色的那条有黑色的眼睛，后来听说书的说“诸葛亮摆什么八卦阵吓退陆逊”，道士用它呼风唤雨，测人生死命运前程无不准确无误， 画个八卦符贴到房梁上就能够驱鬼辟邪……

后来读了相关的书籍，了解一些，晓得这个不能小看了，它很厉害，而且与数学还有着莫大的关系，其中包含着不少的数学原理及数学知识的使用，尤其是在数学思维方面。

本文试图按照《周易》本身的定义以及相映（类比数学的映射概念）关系，将八卦与各研究对象在一定的范围内建立一种明确而又清晰的数学映象关系。即尝试用现代的数学方法和思维去解读八卦的相关问题，从而慢慢接近、探索八卦所揭示的自然奥秘。

八卦的由来

八卦城

《易传·系辞下传》说：“古者包羲氏（即伏羲）之王（管理）天下也，仰则观象於天，俯则观法於地，观鸟兽之文，与地之宜，近取诸身，远取诸物，於是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”

伏羲观天察地、类物取象而作八卦，后世经过周文王“拘而演《周易》”（周文王姬昌被商纣王拘禁在羑里，将伏羲的先天八卦推演成后天八卦），周公旦做爻辞，孔子“韦编三绝”附十翼才成为我们现在看到的《周易》。

《易传·系辞上传》说:' 是故，易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。'孔颖达说:'太极谓天地未分之前，元气混而为一，即是太初、太一也。'古人总结了自然界万物的规律,认为万物均由无（混沌、无极）而生，无生有（即，一、太极），一生天地（非我们现在意义上的天地，应理解为阴阳更好些），阴阳交感而万物成,形成一生二,二生三,三生万物的哲学观、世界观、美学观。八卦正是由这一简单的“一”变化为复杂的“多”而逐渐产生形成的，“易”的意思有三——变易、不易、简易，反映了天、地、人之间“变是常态”、“不变是现象”、“去繁求简”这几个基本原则.

常言说：一个人不识字可以生活，但是不识数就难了。这个数当指下列各数及其丰富的内涵：

无极是0，太极是1，阴阳是2，天地人是3，四象（少阴、太阴、少阳、太阳）是4，木火土金水（五行）是5，上下左右前后（六和）代表6，七星表7，八卦是8，九宫是9，完满、全数是10.

八卦符号的含义

图一

八卦是一套抽象的符号系统,它表示什么意义?“仁者见仁,智者见智。”人们可以赋予它们各种各样的内容,给出各种各样的解释，但最容易理解的是被视为数学的符号（这可能会掩盖住“易”的本质含义）。在阴阳学的影响下,简化作出“——”(阳)“——”(阴)两种符号。通过这两种简单的符号可得出各种各样的错综复杂的排列组合。

“——”代表自然界中的天、日、乾。“乾”表现（即卦德）为健、动、刚。从数的意义上看:“——”表示奇数,又表示一个整体。“——”是数的开始和数的发展的基本,是万物生发之源;“一一”代表自然界中的地、月、坤。“坤”表现为顺、静、柔,它表示偶数。太阳下去,月亮升起;月亮下去,太阳出来,太阳月亮互相推移交替,就产生了时光；“寒暑易节，始一反焉”，就形成了岁月；阴阳交融,万物繁衍。

把“——”及“一一”这两个符号结合,可产生错综复杂的变化。如果取两画为一卦,这两个符号最多只能得到四卦,尚不足以概括自然界除天地以外的其他要素。如果取三画为一卦,那么阴阳的排列组合可得八卦,正好与人们从自然界中抽象出来的八种事物一一对应，即是说八卦是由阴和阳的两种能量及其变化所生。我们将八卦所代表的八种自然界现象与事物特性列表如下:

最高数学奖菲尔兹奖章上面刻着：“智者的游戏，体验神奇的数学；超越人类的极限，做宇宙的主人。”就让我们在八卦的数学海洋里自由遨游一番吧！

八卦的数学结构

1.八卦与集合论

集合论是现代数学的基础,它不仅渗透到数学的各个领域,也渗透到许多自然科学和社会科学领域。《周易·系辞》说:“方以类聚,物以群分。”这里所说的“类”与“群”就与数学中的“集合”概念非常相近。将八卦用集合论的语言描述,就会更方便、更清楚、更精确。《易经﹒说卦传》还说“卦，象也”、“卦者，挂也”无不告诉我们卦是宇宙间各种事物的映象。

(1)八卦与自然现象的关系

乾为天,坤为地,震为雷,巽为风,坎为水,离为火,艮为山,兑为泽。可以看成是两个集合,即八卦经集A={乾、坤、艮、兑、巽、震、坎、离}与八种自然物集B={天、地、山、泽、风、雷、水、火}之间的一个一一映射。

(2)八卦与方位的关系:

乾南,坤北,离东,坎西,震东南,巽西南,艮西北,兑东南。看成是两个集合,即八卦之集A={乾、坤、艮、兑、巽、震、坎、离}与八方之集B={西北、西南、东北、西北、东南、东、北、南}之间的一种一一映射。

(3)八卦与“五行”之间的关系

乾→金,坤→土,震→木,巽→木,坎→水,离→火,艮→土,兑→金。这是两个集合，八卦集A={乾、坤、艮、兑、巽、震、坎、离}与五行集B={金,木,水,火,土}之间的映射,显然是从A到B的满射。

(4)“八卦”与先天卦数、后天卦数的关系

先天八卦数是:乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。故在A={乾、坤、艮、兑、巽、震、坎、离}和B={一，二，三，四,六,七,八,九}之间是一个一一映射。

后天八卦数是：乾→六,坤→二,震→三,巽→四,坎→一,离→九,艮→八，兑→七。即下面两个集合，A={乾、坤、艮、兑、巽、震、坎、离}和B={一，二，三，四,六,七,八,九}之间的另一个一一映射。

以此类推，仰天察地，远取诸物，近取诸身，周易说明了世间外物均可以在特定的范围内将八卦与之建立抽象的映射关系，通过对八卦的推演排算，从而达到预知事物发展变化的趋势，从而断其吉凶。那些认为它的迷信的人眼光太短了，那些奉它为神灵的人未必真的了解其预测的原理。

2.八卦与二进制

通常我们所采用的十进制是“逢十进一”，且在十进制中使用0，1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字符号。而二进制是“逢二进一”,只用0,1两个数字符号即可。如将阴爻用“0”表示,阳爻用“1”表示,则八卦是一个二进制数组。对于八卦与二进制数字及十进制的数字的对应关系

据说德国数学家莱布尼兹（1646～1716）就是根据我国八卦图发明了计算机二进制（他曾感叹：二进制与八卦的卦爻太一致了），震动了世界科学界，故八卦有计算机之母的美誉。

3.八卦与组合论

八卦中的每一卦都由两种元素(阴爻,阳爻)中可重复选取3个所做的排列。设排列数为N,则N=2³,其中“2”是指只有两种元素， “3”是指三个爻位（每一爻位都要从两种元素中选取1个元素）。即是3个位置，每个位置两种选择，可重复排列，所以N=2³=8，正对应于八卦。

这是以位置为主来考虑，也可以以卦的形式为主来考虑，分成四个部分：3个全阳爻，2阳1阴，2阴1阳，3个全阴，故有：

4.八卦与代数式

如果令a表示阴爻,b表示阳爻,并规定ab≠ba如,则当n=2时，

(a+b)²=a²+ab+ba+b²

对应于八卦:

当n=3时，

(a+b)³=a³+aab+aba+abb+baa+bab+bba+b³

对应于八卦:

当n=6时，

（a+b）⁶=a⁶+aaaaab+……+abbbbb+b⁶

对应于64卦。

5.八卦与概率论

在《周易》中，按阴阳爻的比例，可将六十四卦分为七种，其数量分别如下（高考题即在此列）：

故而各部分出现的概率并不相同，通过摇卦的人大部分摇到的是中间那一部分的“卦”，不同的时刻、空间摇到的也并不相同，如果真的以此为准绳恐怕会偏离太多吧（每一卦的概率是一样的，都是1/64）！

《说卦传》中说：“观变于阴阳而立卦”，卦取动不取静，事情的变化受外界的干扰太多，恐怕非一卦所能概括完的，所摇之卦不过说了事情的发展变化之一罢了，还未必是它最有可能变化的方向。为什么算卦重在解卦，就看谁“蒙”的准了，当然“蒙”也是有原理和技巧的。

6.八卦与群论

从数学上讲，一个群只不过是可以通过乘法联系到一起的一组变换。我们首先对一堆以某种方式联系的对象作明确规定（定义），对象也就是群的成员，即“元素”。这些元素按照变换规则组合起来，此规则必须具有三个性质：A、封闭性，如果两个元素按照变换规则组合起来，它必是生成群中的另一个元素。B、恒等性，必然有一个元素（称为单位元或单位变换），它使任何与之组合的变换都保持不变。C、反演性，每个变换具有一个逆变换，它消除了原变换中一个元素上的作用。

八卦其实是讲究先后秩序的群乘法结果，（阴+阳）（阴+阳）（阴+阳）=（阴阴+阴阳+阳阴+阳阳）（阴+阳）=（阴阴阴+阴阴阳+阴阳阴+阴阳阳+阳阴阴+阳阴阳+阳阳阴+阳阳阳）=坤+艮+坎+巽+震+离+兑+乾，也就是易经中的乾一兑二离三震四巽五坎六艮七坤八之说。

如果把八卦中的阴爻记做-1，阳爻记做1，那么八卦集A={乾、坤、震、艮、离、坎、兑、巽}就可以改写成符号集B={111，-1-1-1，-1-11，1-1-1，1-11，-11-1，-111，11-1}，如果在集合B上定义一个二元代数运算叫做乘法，乘法运算如下：

从上表可以看出，B满足群的条件，就是说B构成了一个群，姑且命名为伏羲八卦群。容易看出，上表与四元数群的群表有完全相同的构造，于是得到一个美妙的结论：伏羲八卦群与四元数群同构。伏羲八卦群的乘法法则不仅反映了作为群的元，其间的变易法则，而且通过对应爻上的规律性隐含着群的元内部阴阳变易与转化法则，这就决定了伏羲八卦群连同其一系列推论将有着广泛而重要的应用。

另外八卦与数学还有着其他的关系，比如：在数学上，四象可以对应直角坐标系的四个不同的象限，八卦可以对应空间直角坐标系的八个象限；维度与八卦等等不再多述。

八卦的美感

八卦图是我国祖先的一种人工语言,也是一种深奥精巧的数学结构,蕴涵着一种极其丰富的数学之美。

中国古代的科学美学思想比较讲究和谐与平衡,但这种和谐与平衡并不像古希腊科学美学思想那样偏重于静态肃穆,而是偏重于变化的动态平衡。中国古代的人们更欣赏世间万物在相互作用、共同促进中所表现出来的动态美。《周易·系辞》说:“易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦…”

我们取“太极”(用1表示)、两仪,四象,八卦这15个元素及推广为顶点,可连成如图1的一个“金字塔”，给人以一种整齐对称的美感。把其代表的数字系数可列为下图杨辉三角。

高考题的卦数分布数值与第6行完全一致。

在《周易·系辞上》说:“言天下之至动而不可乱也”，“拟议以成其变化”……无不是说

八卦表象的是动态的事物，描述的是事物的变化，关注的是变化的过程，变才是世界的根本，不变只是表象，八卦体现的是一种动态美。

如《周易·乾卦》从“潜龙勿用”到“现龙在田”，到“终日乾乾”，到“或跃在渊”，到“飞龙在天”，到“亢龙有悔”，最后到“群龙无首”。无不体现了事物的变化过程及人在这个过程中应该注意的事项，最后告诉我们实际上没有什么真正的结束，只是另一个过程的重新开始。

八卦文化的魅力

八卦从产生、发展至今,已经越来越引起中外哲学家和科学家的重视，比如用它来反映一年的气候，用它来拟化万物的运动发展，甚至用它来灭敌制胜等。而八卦图更是随处可见，如量子力学的哥本哈根派以八卦图作为他们学派的标志,韩国以八卦图作为他们的国旗（只用了乾坤坎离四卦，表示春分、秋分、夏至、冬至四个节气，显示其是个农业国家）,蒙古国的国旗上用到了八卦图，这都说明八卦图具有超凡脱俗的美感，八卦是文化中最有价值的文化之一。而八卦与众多数学分支的联系,还有待我们继续挖掘整理。

韩国国旗

蒙古国旗

保罗·戴维斯在《上帝与新物理学》中谈道：“人们长期以来所宠爱的信仰：宇宙是按照一个单一的质朴的、具有惊人的优美的数学原理运行的”，八卦可能就是这个“规律”，让我们为自己祖先创造重了这具有丰富哲学和科学内涵的八卦文化而感到自豪吧！

我们要用善于发现的眼睛去看待数学，这样才能够体会到日常生活中无所不在的数学美感，

我们应继续把八卦文化发扬光大。