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大多数人都熟悉笛卡尔坐标系，它将平面上的每个点  指定给两个坐标。要查找  需从起点  开始，沿横轴走  个单位距离和沿纵轴走  个单位距离(见下左图)。 
但还有另一种坐标系也非常好，它用于飞机的定位。对于每个点 分配一个数对  ，其中  是原点 沿直线到  的距离， 是从 轴的正半轴逆时针旋转至原点与 点所连成的径向线所夹的角度。

这些新坐标称为极坐标，之所以这么命名，是因为我们将轴的交叉点视为所有事物从中辐射出来的极点（见上图）。
如何在极坐标系中表示出简单的图形?从上面的交互性可以看出，以 为端点的射线图形由 值唯一确定，例如， 轴的正半轴由以下方程表示
以及夹于 轴的正半轴和 轴的正半轴中间位置的射线由以下方程表示
一般来说，方程
描述以 为端点，与 正轴的夹角为 的射线。
那么如何用极坐标系来表示圆形呢?我们知道以 为圆心、 为半径的圆，其所有点都落在距离(0,0)有 个单位的位置上。因此，我们可以用以下方程来描述极坐标系中的圆
此表达式比笛卡尔坐标系中的圆的方程简单得多，即
然而描述不穿过点 的直线和不以 为圆心的圆的极坐标方程比其笛卡尔坐标方程复杂。但也有一些图形，其表达式使用极坐标方程比使用笛卡尔坐标方程要简单得多。以下是我们最喜欢的三个例子。
▌阿基米德螺旋(Archimedean spirals)
让我们来画出这个极坐标 对应方程的图像
换句话说，我们要寻找的是满足极坐标为 的所有点，以观察它所形成的图像是什么样的。
下图表示当 值从 变化到 2 时对应的图像。在图像上每个点的极坐标皆为 ，可以看出随着 值的"增加"，点的位置也逐渐远离 。
于是我们有了一个螺旋的雏形!
但为什么要停在 呢?我们可以继续转动径向线使图像超过一个整圈()、转过一圈半()、两圈()，以此不断增加一圈又一圈。然后，我们便可看到随着图像从 转动到 ，点 到原点 的距离会逐渐增加，从 到 ，让 从 增加到 ，则可以看到图像上的点距离原点越来越远。下图表示了 从 到 的图像。
使 一直增加到无穷大，会得到一个以 为中心的无数圈的螺旋：
这个美妙的形状被称为阿基米德螺旋，以伟大的希腊数学家阿基米德的名字命名，他在公元前三世纪发现了它。从图片中可以看出，螺旋的循环间隔均匀：如果以 为端点画一条射线（即径向线），则可以看到螺旋上的任意两个连续交点之间的距离始终为 。
还有其他类型的阿基米德螺旋，其特征是螺旋与径向线的连续交点之间的间隔始终相等。它们可以归纳为以下方程
其中 为正实数。使 值不断变化，您便可以看出， 值决定了螺旋的紧密程度，因此， 值也决定了螺旋与径向线的连续交点之间的间隔。下图为 由 降到 的对应图像。

如果您更喜欢物理解释，那么当您追踪从中心向外出发且以恒定角速度移动的点的路径时，您也会得到阿基米德螺旋。
▌对数螺旋(Logarithmic spirals)
现在，让我们来看看下述方程的图像
其中 是自然常数，
当 时，我们得到
因此，我们的形状包含具有极坐标的点 (其笛卡尔坐标恰好也是 )。下图表示 值从 到 对应的图像。每个点 对应的坐标为 。这里我们再次看到了螺旋的雏形，但这次有所不同。
同样地，我们使 从 增加至 、等不断递增。然而，这一次螺旋的循环没有均匀地间隔。

这是对数螺旋的一个例子。它之所以称为对数螺旋，是因为其表达式
也可以表示为
其中ln是以自然常数e为底数的自然对数。 (还有一种更一般的对数螺旋形式，其表达式为 其中 和 都是正实数。)
但这里还有另一种玩法：我们可以令角度值 变成负数！要查找第二极坐标（即 坐标）为负值的点，您需要从 正轴开始朝另一个方向度量角度：即顺时针方向。例如，具有极坐标 的点位于 轴的负半轴。
这对于对数螺旋意味着什么?当 值从 到 变化时，图像上的螺旋线将以顺时针旋转一、二、三乃至无数圈。作螺旋线，其点 对应的坐标为
但现在随着 不断减小趋向 ，螺旋线也不断向内部移动，趋近于 ，这是因为
所以如果随着 减小且趋于 ，那么 会不断增大且趋于 ，所以 1是正值，且趋近于 。
下图显示了当 不断减小至 时，点 的变化情况。  让 值从 变化 ，就会产生一个双向无限的螺旋，它既没有起点，也没有终点。
 ▲ 完全对数螺旋
但请注意。正如您从图像中所见，这张图片看起来和上面的图片的差不多，即使这里的 轴和 轴覆盖的范围要小得多。这表明了对数螺旋的一个非常有意思的特点。如果使对数螺旋的图片放大或缩小，那么你看到的图片将会看起来与放缩前完全一样，该特性称为自相似性。这可能是对数螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蜗牛壳的漩涡和许多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它们。
17世纪的数学家雅各布·伯努利被这个美丽的形状迷住了，他称之为"spiral mirabilis"(奇迹般的螺旋)，并要求把它刻在他的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”。不幸的是，雕刻师弄错了，他最终在他的坟墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是对数螺旋。
▌极地玫瑰
我们要介绍的最后一个图形，或者更确切地说，最后一组图形，让我们先从这个方程开始
( || 符号代表绝对值，因此 恒为正值)
要了解这个方程，让我们先复习一下正弦函数的图像，下图是横轴对应 值而纵轴对应 值时的图像变化情况：

加上绝对值意味着，图像中横轴以下的部分（该部分 为负值）应该翻折到横轴以上的位置：
您可以看到，当 从 升到 时， 从 上升到最大值 (在 处)，然后下降到 (在 处)。
现在，让我们回到极坐标。当 从 变化到 时，原点 到点
(在 处)变化到 (在 处)，然后回到 (在 处)，这将在极坐标系的上半平面画出一个小圆圈。然后，当 从 变化到 时， 值也跟上述变化相同，这将在极坐标系的下半平面画出一个小圆圈。

现在，让游戏变得复杂些，并观察这个方程
新的因数 意味着上述图中的出现的两个圆圈的范围从 到 变成现在只出现在 到 。即两个圆圈都出现在上半平面上，因此变得有点拥挤。当 从 移动到 时， 的值也从 变到 ，函数的值是周期性的( 具有与 相同的函数值)，现在我们一对圆圈的镜像也出现在下半平面中： 
我们有一朵有四瓣的花! 那么下面这个方程会发生什么
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