分形定义

分形难下确切的定义．分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为“碎形”．分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象；或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性．分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称．

分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似．

除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性．即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少．但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似．这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性．

分形的数学定义

定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt，

即Dh>Dt

则称该集合为分形集,简称为分形．(Dh≥Dt)

这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出了一个实用的定义．

定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形．

它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:局部与局部,局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.

要完整地理解分形还必需知道它的一些特性．

分形特征

大 自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体 与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统 的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.．具体的说有下面几个特征．

（1）自相似性

是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形．自相似性的数学表示为:f(λr)=λ^αf(r),或 f(r)～r^α.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度．

一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关．

人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事．

（2）标度不变性(无特征长度)

一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度．标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.

标度不变性(无特征长度)：具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等．特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分．

对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用．人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了．

（3）层次性,递归性

自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性．

（4）自仿射性

自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同．

（5）分形元－初始元－生成元

是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.

分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等．

（6）分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)

如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈；阴阳有两个分形元支等．

分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述．现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数．一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1／a的a^D个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义．此维数被称之为相似维数．相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限．所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的．Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形．如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下式：N（r）＝Cr^-D_H∝r^-D_H式中的C为常数，则该集的维数为D_H,该维数称为Hausdorff维数．不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计．因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等．