探析导数与三角函数联姻试题----日益兴起的命题亮点

一、前言

高中数学由于导数的引入，使得研究函数单调性和最值的方法更加丰富。三角函数也是函数，当然也可以借助导数来研究三角函数问题。对于三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值问题、含参问题或者相关综合性问题，借助导数进行研究能更充分地考查数学思想方法，运算求解能力，综合应变与解题调控能力，也能很好地彰显考生解题方法的灵活性，多样性与独创性，从而备受命题者的青睐。不少高考试题和高三综合试题均在三角函数和导数交汇处进行命题，以下举例说明。

二、 命题点分析

命题点1:借助导数研究三角函数的单调性,奇偶性,对称性问题

角度一: 单调性问题

例题1：2018年全国II卷第10题

例题2

角度二:奇偶性问题

可导奇函数的导函数为偶函数,可导偶函数的导函数为奇函数.

例题3

例题4

角度三:对称性问题

例题5

例题6

二、命题点分析

命题点2: 借助导数求三角函数的最值

试题借助导数考查三角函数的单调性,进而求出最值.

例题7：2018年全国I卷第16题

例题8：2013年全国卷选择第12题

例题9：2018年江苏卷第17题

简析:本题以现实生活中的农田地块设计为背景,考查三角函数在现实生活中的应用,是数学建模思想的一个重要体现.对于第二步求总产值的最大值问题,必须先将总产值表示成关于Φ的一元函数模型,然后借助函数求最值的方法求出最大值,实际上是求f(Φ)=sinΦcosΦ+cosΦ的最大值,借助导数,十分简捷,计算量小,大道至简.

二、命题点分析

命题点3: 借助导数求三角函数的极值点

试题结合三角函数的图象与性质,紧扣极值点的概念进行求解.要求对极值点的概念有深刻的认识.

例题10

例题11

例题12

二、命题点分析

命题点4: 借助导数求三角函数的零点问题

借助导数考查三角函数的零点问题,经常与零点存在性定理一起使用,证明在某个区间内存在唯一零点.

例题13

例题14:2013年福建卷第20题

二、命题点分析

命题点5: 借助导数求三角函数的零点问题

以三角函数和直线方程为载体,借助导数研究问题,综合性较强,凸显多思少算.

例题15

例题16

例题17

例题18

三、练习巩固

练习1

练习2

练习3：2014年大纲卷第16题

练习4：2012年高考新课标理科

练习5

练习6

练习7

练习8

四、结束语

不难发现，以三角函数为载体，融合函数、导数、不等式等重要知识点于一体，是此类试题的一大特色，充分体现数学知识本质联系，突出考查函数的性质、导数、不等式等知识及数学思想方法的灵活应用。这类题目能够较好地考查学生运算求解能力，推理论证能力，数学核心素养，具有很好的启智功能，导向功能。因此，在复习备考中应该引起我们足够的重视。