二次函数与几何 求证角平分线 探讨直角三角形存在性 解读H28题

H28.如图，抛物线y=ax^2+bx-4经过A（-3,0），B（5，-4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

解读：

（1）抛物线y=ax^2+bx-4经过A（-3,0），B（5，-4）两点，

翻译为：9a-3b-4=0，且25a+5b-4=-4

解得，a=1/6，b=-5/6

所以抛物线为y= x^2/6 -5 x/6-4；

（2）通过构造全等三角形得到角相等

因为OA=3，OC=4，所以由勾股定理AC=5，

在x轴上，取D（2，0），AD=AC=5,

由两点间距离公式得

BD^2=（5-2）^2+（-4）^2=25，BD=5，

因为C（0，-4），B（5，-4），

所以BC=5，则BD=BC，

在△ABC和△ABD中，

AC=AD,AB=AB,BC=BD ,

所以△ABC≌△ABD，

因而∠CAB=∠DAB,

即AB平分∠CAO；

（3）抛物线的对称轴为x=5/2，设M（5/2，m），

利用两点间的距离公式，分别求得：

AB^2=80,

BM^2=25/4+（m+4）^2,

AM^2=121/4+m^2,

因为AB为直角边，则斜边为BM或AM。

当BM为斜边时，由勾股定理得，

80+121/4+m^2=25/4+（m+4）^2

解得，m=11；

当AM为斜边时，由勾股定理得，

80+25/4+（m+4）^2=121/4+m^2

解得，m=-9,

所以当M（5/2,11）或M（5/2,-9）时，

△ABM是以AB为直角边的直角三角形。