二次函数的图象是抛物线,不管抛物线向哪个方向平移,改变的是位置,不变的是形状和大小。 如果题主是九年级的学生,这个提问暴露了数学学习在以下内容上存在问题:1.图形平移的有关知识。2.二次函数的有关知识。3.平移在二次函数中的应用。 一。图形的平移把一个图形从一个位置平移到另一个位置,哪些量发生改变,哪些量没有改变(保持不变)?可以类比一个人,从甲地走到乙地,哪些量发生改变,哪些量保持不变。除了时空变化外,身高体重性别等等都不变,人还是那个人! 同样的道理,在数学中,把一个图形从一个位置平移到另一个位置,只是改变图形的位置,不变是的大小和形状(如下图所示)。 二。二次函数相关知识二次函数的表达式y=ax^2+bx+c,其图象是抛物线,抛物线的顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)),对称轴为直线x=-b/(2a)。 其顶点式y=a(x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/(4a)。 顶点决定位置,参数a决定大小和形状。因而,抛物线的平移,重点是要搞清楚顶点坐标是如何变化的。 以抛物线y=2x^2+4x+5为例。 因为y=2x^2+4x+5=2(x+1)^2+3,所以抛物线的顶点坐标(-1,3),对称轴为直线x=-1。 三。平移抛物线y=2x^2+4x+5平移抛物线y=2x^2+4x+5=2(x+1)^2+3,由前面分析可知,无论向哪个方向平移,变化的是抛物线的位置,形状和大小不变。 此处,参数a=2,它决定了抛物线的形状和大小,顶点(-1,3)决定了抛物线在坐标系中的位置。 当抛物线平移时,形状和大小不变,就是说抛物线表达式中参数a是不变的,即a=2保持不变。 位置发生改变,即顶点的坐标发生变化!具体如何变化,就与平移的方向和距离有关系。 以抛物线分别向上下左右四个方向,各平移3个单位为例,总结顶点坐标的平移规律:
如何理解?这个需要借助想象力(画图辅助)。 左右平移的规律: 左右平移,纵坐标不变,横坐标变化:向左(x轴的负方向),横坐标变小,向右(x轴的正方向),横坐标变大。 按此规律,向左平移3个单位,横坐标减少3,即-1-3=-4,纵坐标3不变。因而向左平移3个单位后,顶点坐标由(-1,3)变化为(-4,3)。 抛物线的表达式变化为y=2(x+4)^2+3。
抛物线的表达式变化为y=2(x-2)^2+3。 同样可以总结上下平移的规律: 上下平移,横坐标不变,纵坐标变化:向下(y轴的负方向),纵坐标变小,向上(y轴的正方向),纵坐标变大。
抛物线的表达式变化为y=2(x+1)^2。
抛物线的表达式变化为y=2(x+1)^2+6。 四。综述抛物线的平移,千万不要死记那些所谓的规律,死记只会让你晕头转向,无所适从。按照此流程:理解题意→画草图→看顶点变化→写表达式。保你百发百中! |
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