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相信网上有一道经典数学题很多人都看过，那就是证明0.9999...=1。题目很简单，证明过程相信大家也都看过，我就列举两种最简单的证明方法：  证明方法1  证明方法2 证明得到的结果是毋庸置疑的，但是这个结论却让人们根本不能接受：为什么明明两个看起来根本就不相等的数字，居然就是相等的呢？为什么明明0.9999...看起来就小于1的数字反而会等于1呢？  所以我今天就是想从源头上聊一聊一些数学上的基础思维方式以及没有深刻接触过数学的那些朋友的思维惯性，然后从这个角度出发，讲一讲为什么我们不能理解这个最简单的等式。 科学上的事，不能凭直觉所谓的“直觉”，是人们从自己的生活中逐渐总结出来的一些规律，然后下意识地做出来的判断。比如说“2比1大”，比如说“3跟4是不一样的两个数”。 这些判断一般情况下是不会错的，而且我们人类、乃至整个地球生物圈都凭借这种出色的“直觉”让我们不假思索地做出来一些反应，从而可以获得更快的反应速度。  刚出生的婴儿也会有“下意识”的反应 但是直觉不总是对的，甚至于一些思维惯性会造成严重的判断失误。我们将通过下面这个简单的小实验来说明： 下面这张图里面绝大部分按钮是凸起的还是凹陷的？我相信很多人会很容易回答出来：有五个按钮是凸起的，只有一个是凹陷的。  但是如果我们把这张图原封不动倒过来看呢？你会忽然发现，居然答案变得截然相反：五个按钮凹陷的、一个按钮凸出的——那么同一张图为什么会让我们产生如此不同的看法呢？  图片倒置之后 答案很简单：这是一张二维的图片，我们是通过圆形中阴影和光亮来“脑补”出一个立体的图形的。而现在重点来了：我们的大脑默认光线是从上方照射下来的，所以当光亮部分位于圆形上半部分的时候，我们认为这个“按钮”是凸起的。 事实上，没有任何人告诉你：光线一定要从上方照射下来。但是因为在长时间的生活中，我们默认了太阳在头顶上，光线一般是从上面照射下来的。所以，我们大脑中的“直觉”在冥冥之中给我们加上了一道思维的“枷锁”。 所以当我们再来回看这道数学题：0.9999...=1，很多人不理解：明明这两个数字不一样呀，明明0.99...小于1呀。可是，你之所以觉得不一样、小于，是因为你的直觉告诉你：两个数字写法上不一样所以不一样大、0.999...这个数字因为没有达到1所以比1小——总之，都是直觉。 而就像刚刚我问按钮是凸起还是凹陷的时候一样，什么叫“凸起”？什么叫“凹陷”？你是怎么判断的？你为什么没有搞清楚这个问题就回答了是凸起还是凹陷？那么这个问题是一样的道理：什么叫“一样”？什么叫“小于”？你有没有搞清楚这个问题呢？这是不是你的思维惯性呢？ 科学上下任何判断都要首先考虑“定义”一旦我们在科学上遇到了脱离了我们日常生活的题目，无论是数学上的“无限”有关的概念还是物理上的“量子”，任何事情都不要相信直觉，不要着急做判断，先想定义。  科学研究已经超越了我们日常的所见所闻 比如说我们说“相等”这个问题，什么叫相等？有人一看到这个问题就会很不屑地说：相等不相等还看不出来吗？写的一样就是相等，写的不一样就不相等。 所以看到问题所在了吗？ 你还没有开始思考这个问题，就已经首先不自觉地下了结论：这两个数字不一样。 这显然就陷入了“直觉”带来的思维惯性中了。因为我们现在面对的是无限循环小数——你面前的两个数字“0.99...”和“1”已经是难舍难分了，不再是像1、2、3、4……这样的自然数一样泾渭分明，所以我们不能用直觉判断。 为了不让这两个数的“外貌”来影响我们的判断，我们用A来代表0.999...，用B来代表1，那么我们再来问：什么时候A=B？我们怎么判断A=B？ 答案很简单：我们找不到第三个数C，使得这个数C比A大、比B小，或者反过来说，这个数C比A小、比B大。就好像直线上两个点什么时候重合？答案就是这两个点之间再也找不出来第三个点了。 那么我们回到问题上来，我现在要问了：
所以这么问，答案是不是很明显了？你还会纠结于“明明这两个数不一样但是为什么还是可以证明出来一样”这个问题吗？ 简单说，这个问题的关键不是为什么一个比1小的数会等于1，而是很多人没有首先去想什么叫“相等”，什么叫“小于”，我们只是在下意识地把自己的日常经验套用到科学研究中了——或者说，我们还没有开始思考这个问题，我们的身体就已经先我们一步、不自觉地下结论了。 总结直觉是我们与生俱来的能力，但是这些直觉全部是来自我们的日常经验，当科学研究的内容脱离了我们会遇到的那些寻常事物之后，我们再凭借这些“直觉”就会形成思维惯性，在我们真正地思考之前就已经把自己框死在错误的答案上，这才是这道数学题“0.999...=1”让很多人不解的真正原因。 感谢大家的阅读，希望大家能够点赞、评论、关注走一波呀~ |
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