初中阶级,相似三角形的判定,只给出了判定的方法,并没有给出这些方法的证明,在这里,我想对这些方法的证明,给出我的浅见。 相似三角形判定的方法主要有三个:
方法一ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,求证:ΔABC∽ΔADE。 为了方便证明,将两个三角形合并到一个图形当中。 首先证明三个角对应相等。 ∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,可以推出∠ACB=∠AED。 三个角对应相等证明完,接下证明三角边对应成比例。 ∠ABC=∠ADE,可证出BC//DE,可得AB:DB=AC:CE=k。 设AB=a,BC=b,得AC=ak,CE=bk。 作CF//AD,可得CE:AC=EF:DF=k1, 可得,EF=bk1,DF=ak1. 四边形BCFD是平行四边形,可得BC=DF=ak1。 可得AB:AD=AC:AE=BC:DE=a:(a+b) 所以,两个三角形相似。 方法二这道题主要运用到平行线分线段成比例逆用,也就是,直线分线段成比例,那么直线平行。 如图所示,AB:BD=AC:CE,求证:BC//DE. 这个用到反证法。 若BC不平行于DE,那么过D点作DF//BC,与AE所在的直线相交于F 可得,AB:BD=AC:CF. 因为AB:BD=AC:CE,所以CE=CF,可知E、F两点重合。 所以BC//DE。 接下来我们来证明方法二 为了方便,还是将两个三角形合并到一个图形中。 ΔABC和ΔADE中,AB:AD=AC:AE,求证:ΔABC∽ΔADE。 AB:AD=AC:AE,可得BC//DE,可得∠ABC=∠D。 所以,两个三角形相似。 方法三ΔADE和ΔOPQ中,AD:OP=AE:OQ=DE:PQ. 作AB=OP,AC=OQ, 可得,AB:AD=AC:AE, 可得,ΔADE∽ΔABC, 可得,BC:DE=AB:AD=AC:AE。 可得,BC=PQ。 可得,ΔABC全等于ΔOPQ 所以,两个三角形相似。 |
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