数学小升初知识点：抽屉问题

抽屉问题基本知识点

不知道大家有没有经常听到这样一句话，“不要把所有鸡蛋放到一个篮子里”，那这句话是什么意思呢？

从字面意思来看，是提醒人们，不要把所有的鸡蛋都放在同一个篮子里，如果发生篮子翻了或其他状况，可能会一个鸡蛋都不剩，在经济上常用来比喻规避风险，多留后路的意思。那对于我们数学来说，就是一个很好延伸的“抽屉问题”了。

如果现在我有3个鸡蛋，要把它放到2个篮子中，会出现几种情况呢？

①一个篮子有0个，另一个篮子有3个。(0，3)

②一个篮子有1个，另一个篮子有2个。(1，2)

还会不会出现其他情况呢，显然不会了。

那如果我有4个鸡蛋，还是把它放到3个篮子中，又会出现几种情况呢？

①一个篮子有0个，一个篮子有0个，另一个篮子有4个。(0，0，4)

②一个篮子有0个，一个篮子有1个，另一个篮子有3个。(0，1，3)

③一个篮子有0个，一个篮子有2个，另一个篮子有2个。(0，2，2)

④一个篮子有1个，一个篮子有一个，另一个篮子有2个。(1，1，2)

我们现在来观察一下，把3个鸡蛋和4个鸡蛋放到篮子里情况：

把3个鸡蛋放到篮子里，不管怎么分，其中有一个篮子，始终大于等于2个。

把4个鸡蛋放到篮子里，也是一样的，有一个篮子，始终大于等于2个。

以此类推：我们发现不管是5个还是10个鸡蛋，按照鸡蛋比篮子多一个的情况下，始终有个篮子里的鸡蛋是大于等于2个鸡蛋的。这种现象就是抽屉原理，也叫鸽巢原理。

原理一：如果把抽屉看做集合，鸡蛋看做元素，则n+1个元素放入n个集合中，不管怎么分，则一定有一个集合中有2个或2个以上的元素。

还是上面的题为例：如果我有5个鸡蛋，把它放到3个篮子里，会出现几种情况呢？

①(0，0，5)

②(0，1，4)

③(0，2，3)

④(1，1，4)

⑤(1，2，2)

观察发展，不管怎么分，至少有一种情况是含有不少于2个鸡蛋的。

原理二：如果把比n+1个还要多的元素放到n个集合中，则至少有一个集合是大于等于2的，在深入一点也就是把m个元素任意放入n（n＜m)，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。

k怎么来确定

当n能被m整除时，k＝(m÷n)

当n不能被m整除时，k＝(m÷n)+1

带入上面的问题，5个鸡蛋放到3个篮子里，至少一个篮子里有几个鸡蛋？

5÷3＝1·····2

3不能被5整除，所以k=1+1

至少有一个篮子里有2个鸡蛋。

返回上面我们所分的情况验证，5种分法，至少有一种分法，篮子里面是有2个鸡蛋。

抽屉问题解题步骤

1、分析题意，找准“抽屉”和要分的“物品”。

2、根据题意，分析数量关系，设计抽屉类型，用抽屉关系替换题目中的数量关系。

3、运用抽屉原理，带入原理中解答。

运用和解答

例1：在学校教室里有6名学生正在学习，今天只有数学、英语、语文、历史、地理5门课程。

问如何求证：至少有两名学生学习同一门课程。

思路：分析题意，把学生看做“鸡蛋”，课程看做抽屉，则有6个鸡蛋，5个篮子。

根据抽屉原理一：如果把抽屉看做集合，鸡蛋看做元素，则n+1个元素放入n个集合中，不管怎么分，则一定有一个集合中有2个或2个以上的元素。

所以至少有两个学生学习同一门课程。

例2：学校买来一批书，要将书分给大家，有30名老师，至少要拿多少本，才能保证至少有一个老师能得到两本或两本以上的书。

思路：把30名老师看作30个抽屉，把书看成鸡蛋

根据原理1：则需要n+1个鸡蛋。

也就是至少需要50+1=51本书。

例3：学校月底测试，班级上有47名学生，满分是100分，成绩都是整数。已经知道有3名学生的成绩在60分以下，其余同学成绩在75到95之间不包括75，至少有几名同学成绩相同？

思路：找准抽屉和物品。题目中要求的是有几名同学成绩相同，而75到95之前有20个分数段，可以把学生看做物品，分数看做抽屉，

分析数量关系。有三名学生的成绩已经是知道的，不能在参与分配，所以参与的学生有44人。75到95之间有20个分数段，看做20个抽屉。

带入抽屉原理二中，则有：

44÷20＝2·····4

2+1＝3

至少有3名学生的成绩相同。

例4：冬季运动会有200学生参加运动会，其中有跳远、跑步、跳高三种比赛项目，规定每人必须参加一项或者两项运动，那么至少有几名运动员参加的项目完全一样？

思路：题目中问的是运动员参加的项目，在这个题目中，运动员是可以参加一项或者是两项，共有三项活动，所以只参加一项的活动有3种情况(跳远、跑步、跳高)，而参加两项的活动也有三种情况(跳远和跑步、跳远和跳高、跑步和跳高)，所以一共是6种情况。

把6种情况看做抽屉，参加运动会的学生看做鸡蛋。

带入抽屉原理二中就得：

200÷6＝33····2

33+1＝34

至少有34人参加的项目完全一样。

总结

抽屉原理只能用来解决存在性问题，也就是“至少有一个”之类的题目。

那么至少有一个是什么意思呢？

“至少有一个”就是存在，满足要求的抽屉可能有很多个，但这里只需要满足存在一个达到要求的抽屉就可以了。