学科点睛系列4-从三角形到四边形的必修课

从八年级到九年级，学生几何证明题越来越困难。经常出现三角形证明还可以，四边形证明不会做。而且老师一讲就听懂，自己独立做很吃力。出现这种现象的主要原因之一是对三角形证明的模型题学的不透彻，解题时照猫画虎，按照模型套路生拉硬拽，并没掌握解决此类模型题的核心，以及判断模型的特征条件不明确，辨识度不高。故撰写此文，希望对各位学生有所启发。

【直接上题】

先从【八年级】学生角度求解此题：

阅读题目后，很容易看出CF∥BD，那我们该如何证明呢？咱们做几何证明题时，通常是条件推结论，切忌结论逆推条件。遇到等腰Rt△我们常见的题型，三线合一，三垂直，半角，手拉手，中位线等等。

【引例1】学生熟悉的题目如下题：

△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．

（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．

【解法1】等腰Rt△ 三垂直

图中黄色与蓝色全等，易得EP=QF=QC，∴CF⊥OC 证毕

【引例2】学生熟悉的题目如下题：

等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， ∠EAF=45°，AB=AC，

证明：EF2=BE2+FC2；

【解法2】等腰Rt△ 45°半角

等腰Rt△中半角导角是学生熟悉的类型，如上图所示，利用45°易得∠FQC=∠OEP（导角方式较多，请读者自行推导）

图中黄色与蓝色全等，即△FQC≌△OEP ∴CF⊥OC 证毕

此方法较为麻烦，仅为读者提供思路，可在其他题目中尝试使用。

接下来从【九年级】角度求解此题：

九年级学习相似三角形后，原有的手拉手全等，半角全等，三垂直全等都会升级为手拉手相似，半角相似，三垂直相似。

【引例3】学生熟悉的题目如下题：

如图2所示，正方形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，

且EF⊥AB．将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与

DF的数量关系。

【解法3】 手拉手相似

等腰Rt△手拉手相似，易得OF:OC=OE:OP

∴△OCF∽△OPE ∴∠OCF=∠OPE=90° 证毕

【总结】

在八年级向九年级过渡时，将三角形模型题目，完成从学解法到学思维的转变，总结归纳每一种几何模型的判断依据（特征条件），解题核心。从知道、了解、听懂了、学会了转变为掌握、熟练、表达。注重'做一题，会一类，通一片'，锻炼自己一题多解的能力。

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综上所述，通过不同的角度分析此题，想必各位同学对于数学解题中的方法与想法有了更深刻的体会。积跬步以至千里，感谢各位阅读此文，希望对同学们的数学有所帮助。