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矩阵的秩，大家都有所了解，我之前也有讲过，指的是矩阵的线性无关的列/行的极大数，一般我们用rank(A)来表示矩阵的秩。 而对于线性方程组而言，又分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。 齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组，如果未知数的数量大于所给方程组的数量，则该齐次线性方程组有非零解，否则为全零解，主要是为了说明系数矩阵的秩小于未知数的数量，以此判断该非齐次线性方程组有非零解。 非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组，非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。 我们今天要讨论的便是通过分析矩阵的秩来判断非齐次线性方程组Ax=b的解。 我们可以将该非齐次线性方程组拆分为系数矩阵和增广矩阵，这样说比较抽象，我们给出一道例题。 如图所示，这道题目就是给定矩阵A和矩阵b，判断线性方程组Ax=b有无穷多解时候的充分必要条件是什么。 我们知道，在判断线性方程组Ax=b有无解的时候，往往用到矩阵的秩来表示。 要证明线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，R(A)=R(B)，否则便无解。 而证明唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=n； 证明无穷多解的充要条件是R(A)=R(B)<n。 因此对于这道题目而言，就很明确了，只要判断系数矩阵A和增广矩阵B的秩是否相等且小于n，既而便能判断a和d是否属于集合{1,2}。 如图所示，便能够给出解释，题目的要求是证明无穷多解，只要让系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等且小于n，那有且仅有一种情况，便是能够让矩阵A和矩阵B都能够进行初等变换后得到第三行都为零。 那要让第三行的数据都为零，只能满足a(a-1)是a-1的2倍，d(d-1)是d-1的2倍，那么只有当a=1或2，还有d=1或2的时候才能够满足。 最终便能够得到答案，应该是D选项。 |
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