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欧几里得的《几何原本》提出了五条公理，第五条公理为：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。第五公理文字叙述冗长，不那么显而易见。欧几里得几何学，雄视数学界两千年，没有人能动摇它的权威。但后来人们对第五公理表示怀疑，一些数学家提出，第五公理能不能不作为公理，而作为定理？能不能依靠其他公理来证明第五公理？这就是几何发展史上争论了长达两千多年的“平行线理论”的讨论。
拉格朗日到18世纪时，瑞士几何学家数学家兰贝尔特（1728—1777）、法国著名的数学家勒让德（1752—1833）和拉格朗日（1736—1813）等人，都在这个问题上花费了大量的精力，然而他们都没有成功。这个问题像无底深渊一样，无情地吞噬着数学家们的智慧，而不给予他们任何报酬。俄国数学家罗巴切夫斯基（1792—1856）于1815年开始研究平行线问题，一开始他也想走证明第五公理的老路，到1823年时，他认识到以前所有的证明都是错误的。1826年，他发表论文声明第五公理不可证明，并且采用了相反的公理：'通过不在直线上的一点，至少可以引两条直线平行于已知直线'。从这个新公理和其余的公理出发，他终于建立了一种的非欧几何学。这一新学科在天文学和宇宙论中得到了应用。罗巴切夫斯基被誉为“几何学中的哥白尼”。 罗巴切夫斯基在试证第五公理的浪潮中，德国著名数学家高斯也卷在其中。他总结了1000多年来试证失败的教训，改变了原来的论题，即由'欧氏第五公理可证'改为'欧氏第五公理不可证'，结果证明后一结论是正确的。他逐渐得出革命性的结论︰确实存在这样的几何学，其内部相容并且没有矛盾。他从中发现了一门新的几何学——非欧几何学。就是说，高斯比罗巴切夫斯基更早些。但是，高斯把自己的发现隐藏起来了，他在非欧几何方面论著最多，但没有公诸于世，因为他的观点与同代人的观点相背，他不敢发表，怕引起庸人的叫喊和嘲讽，结果至死未敢公开发表这一研究成果，也就失去了“几何学中的哥白尼”的桂冠。 高斯胆怯是缺乏自信心的表现，过于谨慎就会优柔寡断，丧失良机。对待世俗同样需要有一种勇气，要大胆地走自己的路，让别人去嚼舌吧。 |
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