【初中数学】【压轴题】每日一题2019.11.18

利用模型构建辅助线
知识点：全等三角形+等腰三角形 模型：一线三等角模型（3）
今天我们来拆解一道压轴题，我们只讨论第2问，它包含一线三等角模型。
题目如图1，第2问解答如图2、3、4。此处给出两种解法，接下来，我们说一说如何运用模型构建解题思路。
首先，对图形要有敏感度，我们看图形状就是一线三等角结构，再识别出关键信息：C、B、F共线，三角形ABC和三角形DEF全等。
其次，理出模型相关条件：
①EB垂直BA
②EB=BA
③三角形BEF全等于三角形ABC
④EF+AC=FC

那我们就可以从两个角度来构建思路。
方法一：利用一线三垂直，③推出①②，三角形EBA为等腰直角三角形。我们考虑在三角形EBA内建立桥梁，转换边和角。这时候发现连接BM，则有BM=EM=MA，可以证三角形EFM全等于三角形BCM，进而解决问题。
此方法核心思路：证EBA为等腰直角三角形，证三角形EFM全等于三角形BCM

方法二：利用一线三垂直，③推出④，通过延长CA和FM交于点N，构造三角形EFM全等于三角形ANM，同时构造出等腰直角三角形FCN。此方法需要注意的是辅助线如何交代。因为也可以把FM倍长（倍长中线法）之后得到MN，但是这里不建议写倍长，因为那样我们连接AN之后，还要说明C、A、N三点共线，会比较麻烦，不如直接延长相交，证明EF和CN平行，再证全等。
此方法核心思路：证三角形EFM全等于三角形ANM，证三角形FCN为等腰直角三角形。

明天我们将一起看一线三等角模型的一般形式（非直角）。

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