 声明：本文讲的“矮胖、瘦高”理论不是宝刀君自己“发明的”，这个讲法源于近几日有幸聆听文都高端面授课程上的一个女老师（文老师）上课所讲，此法形象生动，易于理解和记忆，听完后令人拍案惊奇！在此，宝刀君向这位女老师表示衷心的感谢！！！ 第一个结论 问题： 这道题是说：两个向量组A和B，其中B可以由A来表示，B线性无关，问向量组B的秩 和 向量组A的秩 ，两者大小关系？ 巧记：记住一句话：“被表示的不大”，B被A来表示，不大，即小于等于，也就是说向量组B的秩 小于等于 向量组A的秩。 怎么理解呢？ 这样说你就明白了，比如说我们用一个二维的量可以表示一个平面上的东西，用三维却可以表示一个立体的东西，那么你用三维可以表示二维的，但是你却不能用二维的表示三维的。 换句话说，你能用高维的表示低维的，但却不能用低维的表示高维。 维数其实就是秩，增大维数就是增大了秩，增大了约束条件。 因此，B可以由A来表示，那么A肯定是高维的了，即A的秩更大。 仅仅掌握这个结论是远远不够的，我们最好还应该掌握它的逆否命题。 像上面这个结论：向量组B可由向量组A来表示，向量组B线性无关，则R(B)小于等于R(A)的逆否命题为：向量组B可由向量组A来表示，R(B)大于R(A)时，则向量组B线性相关！ 有些同学可能忘了什么叫做逆否命题，这里作为插入，顺带补充下：  命题：可以判断真假的语句叫做命题.－－>表示可推出 原命题为：a－－>b 逆命题为：b－－>a 否命题为：非a－－>非b 逆否命题为：非b－－>非a 互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定,则这两个命题称互为逆否命题.命题的否定只否结论. 2 矮胖和瘦高 讲解之前，让我们先弄清楚什么叫“矮胖”和“瘦高”。 对于一个m*n的矩阵A来说，如果当它的秩是小于n时，也就是矩阵A的列向量组线性相关，而我们在求解秩时，一般是数行阶梯型中非零行的个数，现在是秩小于列的个数，也就是说现在是“行的个数小于列的个数”，那么这样的A看着就像是一个长矩形。为便于记忆，我们把这种形式的A叫做矮胖型的，所以“矮胖对应的是线性相关”。 用图表示，就是下面这样：  同理，对于一个m*n的矩阵A来说，如果当它的秩是等于n时，也就是矩阵A的列向量组线性无关，那么这时候的A其实是一个“方的”，但是为了和前面的矮胖区分开来，这里把它看成是“瘦高”。因此，“瘦高对应的是线性无关”。 用图表示：  这里讲的矮胖和瘦高，让宝刀君不由得想起了前几年风行的漫画：老夫子，刚好这个漫画中就有一个矮胖和一个瘦高！  好，明白了这两个概念后，接下来最精彩的内容出现了！！！ 3 第一组向量组导出的4个结论 先给出 第一组向量组：  第二个向量组比第一个向量组多了1列。 第一个问题： 如果（1）线性相关，则（2）是线性相关还是线性无关？ 回答：相关。 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（1）是相关，即（1）是矮胖，（2）比（1）多了1列，由（1）到（2），也就是说“矮胖现在在增肥”，矮胖增肥，越增越肥越矮胖，因此（2）线性相关。 第二个问题： 如果（1）线性无关，则（2）是线性相关还是线性无关？ 回答：不一定。 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（1）是无关，即（1）是瘦高，（2）比（1）多了1列，由（1）到（2），也就是说“瘦高现在在增肥”，瘦高在增肥，但这要看你增肥的程度，如果增得多，那有可能成为矮胖，如果增的少，那还是瘦高，因此（2）的相关性不确定。 第三个问题： 如果（2）线性相关，则（1）是线性相关还是线性无关？ 回答：不一定。 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（2）是相关，即（2）是矮胖，（1）比（2）少了1列，由（2）到（1），也就是说“矮胖现在在减肥”，但这要看你减肥的程度，如果减得多，那有可能就变成瘦高了，如果减得少，那还是矮胖，因此（1）的相关性不确定。 第四个问题： 如果（2）线性无关，则（1）是线性相关还是线性无关？ 回答：无关。 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（2）是无关，即（2）是瘦高，（1）比（2）少了1列，由（2）到（1），也就是说“瘦高现在在减肥”，瘦高减肥，越减越瘦高，因此（1）线性无关！ 如此解释，妙哉妙哉！ 别急，还没结束，精彩还将继续！  4 第二组向量组导出的4个结论 给出 第二组向量组：  第一个问题： 如果（1）线性相关，则（2）是线性相关还是线性无关？ 回答：不确定。 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（1）是相关，即（1）是矮胖，（2）比（1）多了1行，由（1）到（2），也就是说“矮胖现在在增高”，矮胖增高，这就看你增高的范围了，一两厘米增的幅度小，还是矮胖，若增高一两米，那还有可能变成瘦高，因此（2）的线性相关性不确定。 第二个问题： 如果（1）线性无关，则（2）是线性相关还是线性无关？ 回答：无关！ 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（1）是无关，即（1）是瘦高，（2）比（1）多了1行，由（1）到（2），也就是说“瘦高现在在增高”， 瘦高在增高，越增越瘦高，因此（2）线性无关！ 第三个问题： 如果（2）线性相关，则（1）是线性相关还是线性无关？ 回答：相关！ 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（2）是相关，即（2）是矮胖，（1）比（2）少了1行，由（2）到（1），也就是说“矮胖现在在降低高度”， 矮胖在降低高度，越降越矮胖，因此（1）线性相关！ 第四个问题： 如果（2）线性无关，则（1）是线性相关还是线性无关？ 回答：不确定！ 原因：矮胖对应的是相关，瘦高对应的是无关，现在（2）是无关，即（2）是瘦高，（1）比（2）少了1行，，由（2）到（1），也就是说“瘦高现在在降低高度”， 瘦高在降低高度，同样的道理，也要看你降低的高度是多少了，如果降得多降成矮胖，那么（1）就是相关，如果降的少，那还是瘦高，那么（1）就是无关，因此（1）线性相关性不确定！ 讲完了，真是精彩呀！酣畅淋漓！！！  5 总结 宝刀君感慨万千哪！遥想自己当年考研时，没听过这种讲法，只好一个人在那苦苦的理解背诵， 如今掌握了这么好的易于理解易于背诵的方法，心里不由得有种：“今日长缨在手，何时缚住苍龙”之快感！  对于考研学子而言，什么是苍龙呢？无非就是各类题了，这里举两个例子，让大家体验下今天所讲结论的方便之处： 比如2003年数学一的这道真题，其实考的就是第一个结论的逆否命题： 再如下面这道练习题：瘦高在增高！ END |
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