等价向量组与向量组相关性

向量组等价

A：α1，α2，...，αn

B：β1，β2，...，βs，

若αi=ki1β1+ki2β2+...+kisβs(i=1,2....s)即A的每一个向量可以用B中向量组线性表示。同时βi=li1α1+li2α2+...+linαn(i=1,2....n)即B的每一个向量可以用A中向量组线性表示。则称向量组A与B等价。

等价向量组有以下性质

• 自反性：向量组与自己等价
• 对称性：向量组A与B等价，则向量组B必然与A等价
• 传递性：向量组A与B等价，B与C等价，则必然A与C等价

矩阵等价结论：

矩阵A经过初等行变换变成B，则B的每个向量都是A的行向量的线性组合。同时初等变化具有可逆性，显然A的每个向量都是B的行向量的线性组合。因此可以得出结论：经过初等行变换的矩阵与原矩阵的行向量组是等价的，经过初等列变化的矩阵与原矩阵的列向量是等价的。

我们对一个方程组的每一个方程做线性运算得到的新方程就是原方程的线性组合，称为该方程组可以由原方程组线性组合。这时候两个方程组是等价的，解一定是相同的。成为同解方程组。

向量组的相关性

给定向量组A：(α1，α2，...，αn)，如果存在不全为0的数k1，k2，...，kn使k1α1+k2α2+...+knαn=0,则称向量组A使线性相关的，否则称它为线性无关。

这意味着：

向量组中每一个向量等可以写为：ai=k1α1+k2α2+...+knαn的形式。或者说向量组中任一向量均可以用其他向量组线性表示。

• 对任一向量组不是线性相关就是线性无关。
• α1，α2，...，αn线性无关则：k1α1+k2α2+...+knαn=0时所有系数为0，若k1，k2，...，kn中不全为零则k1α1+k2α2+...+knαn≠0。
• α1，α2，...，αn线性相关则：x1α1+x2α2+...+xnαn=0时必有非零解。
• 包含0向量的任何向量组都是线性相关的
• 向量组只有有一个非零向量时是线性无关的。
• 向量组只包括两个向量是若对应分量成比例则线性相关，否则线性无关

线性相关的几何意义

在R2与R3中若a1，a2线性相关则他们共线，在R3中若a1，a2，a3线性先关则他们共面。

三个等价命题

设有m维向量组(α1，α2，...，αn)，A=(α1，α2，...，αn)，下列命题等价：

1. α1，α2，...，αn线性相关
2. AX=0有非零解
3. R（A）<n（或者detA=0）（R（A）为矩阵的秩）

同理有以下三个等价命题

1. α1，α2，...，αn线性无关
2. AX=0只有零解
3. R（A）=n（或者detA≠0）

可以得出以下结论：

• 向量个数>向量维数的向量组必然线性相关

例：判断向量组的相关性。

例