|
一、知识要点： 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们探讨稍复杂的比应用题。 注：拔高奥数题适用于五六年级，培养孩子数学思维，锻炼孩子解题能力 二、精讲精练： 【例题1】 甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的时间比甲少1/11，求甲、乙两人速度的比。 【思路导航】因为速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程/甲时间：乙路程/乙时间 （1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：1＝6：5 （2）甲、乙时间的比：1：（1－1/11）＝11：10 （3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11 答：甲、乙速度的比是12：11。 【练习1】 1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5，小芳用的时间比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。 2、甲走的路程比乙多1/3，乙用的时间比甲多1/4。求甲、乙的速度比。 3、一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？ 【答案】 1.小明和小芳的速度之比是27:20 2.甲乙的速度之比是5:3 3.骑车与步行的速度之比是3:1 【例题2】 制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比进行解答。 甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20 总份数：15+18+20＝53 甲：1590×15/53＝450（个） 乙：1590×18/53＝540（个） 丙：1590×20/53＝600（个） 答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。 【练习2】 1、加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？ 2、甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少个零件？ 3、加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少工人？ 【答案】 1.甲应加工零件700个，乙应加工零件600个，丙应加工零件525个。 2.甲制造了零件240个，乙制造零件300个，丙制造零件400个。 3.第一道工序28人，第二道工序42人，第三道工序48人。 【例题3】 两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？ 【思路导航】 因为产值＝价格×产量，所以 甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量） 两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50 甲厂产值为：6960×66/（66+50）＝3960（元） 乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000（元） 答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。 【练习3】 1、甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？ 2、苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？ 3、大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？ 【答案】 1.甲长方形面积是132平方厘米，乙长方形面积是110平方厘米。 2.王大妈买苹果花了8元，买梨花了10元。 3.大苹果每千克5元，小苹果每千克4元。 【例题4】 A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【思路导航】 解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比＝7：3＝21：9，现价格比＝7：4＝28：16 【这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】 70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元） 解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 （1）原来A商品的几个是价格差的几倍7÷（7－3）＝7/4 （2）后来A商品的价格是价格差的几倍7÷（7－4）＝7/3 （3）A、B两种商品的价格差是70÷（7/3－7/4）＝120（元） （4）原来A商品的价格是120÷（7－3）×7＝210（元） （5）原来B商品的价格是120÷（7－3）×3＝90（元） 答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。 【练习4】 用两种思路解答下列应用题： 1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？ 2、甲书架上的书是乙书架上的4/7，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？ 3、兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？ 【答案】 1.原来甲队有水泥216吨。 2.甲书架原有书56本，乙书架原有书98本。 3.哥哥每年的收入是7200元，弟弟每年的收入是5400元。 【例题5】 如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？ 【思路导航】 解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。 王刚和李华所用时间的比1/4：2/10＝5：4 王刚所用的时间1÷（5－4）×5＝5（小时） 甲地到丙地的路程4×5＝20（千米） 甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千米） 解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行10－8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了10×1＝10千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。 王刚从甲地到丙地的时间10×1÷（10－4×2）＝5（小时） 甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60（千米） 解法三：如果王刚每小时行10÷3＝5千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间相差1小时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差1/4－1/5＝1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米） 甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千米） 答：甲、乙两地相距60千米。 【练习5】 1、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？ 2、甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小时各做多少个？ 3、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？ 【答案】1.甲乙两地相距72千米。 2.甲每小时做120个零件，乙每小时做100个零件。 3.甲乙两地的路程是500千米。 |
|
|
