在明辨中深度理解概念 ——“体积与容积”的教学思考与实践

GXF360 2019-12-21

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如何围绕概念内涵的核心展开教学？教师既要深刻分析概念本质及其蕴含的数学思想，也要注重设计有利于学生慎思、明辨的学习活动，引导学生独立思考、理性判断，促进深度学习的发生，真正把知识内化为能力。下面以“体积与容积”一课的思考与实践为例，谈谈如何把握概念本质，创设明辨活动，促进学生深度理解体积与容积的概念。

谢晖1963年出生于一个普通职工家庭，早年是一名中学教师。在党组织的培养下，他毕业后分配到基层劳教所工作，从一个普通民警一步步走上领导岗位，33岁就当上了司法厅劳教局局长，37岁荣升为副厅级领导干部，仕途一帆风顺。然而，谢晖不知感恩，不懂珍惜，随着权力的扩大，纪律意识越来越淡薄，把自己凌驾于组织之上，在单位大搞“家长制”“ 一言堂”，听不得任何不同意见。

一、关注生活经验，淡化描述形式

北师大版教材中是这样描述体积与容积这两个概念的：物体所占空间的大小，是物体的体积；容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。两个概念都很抽象，但五年级的学生对“空间”“体积”早有直觉上的认识，生活中经常会做出“这个苹果小、那块蛋糕大”“饮水机占的空间比冰箱小”等描述。因此，教师不必纠结于概念的文字表述，比如解释什么是“空间”，对学生理解“体积”帮助不大。在体积概念的引入上，笔者是通过让学生观察“土豆实验”，直接指向土豆是占空间、有体积的。

实验演示：如图1所示，把土豆放入装有水的烧杯中。

图1

师：为什么土豆放下去后水面会升高？

生1：因为土豆占了水的空间。

师：我们教室里的哪些物体也占了空间呢？

生2：课桌、椅子，甚至人也占空间。

师：对！人也占空间。那么老师站在这里和向前走几步后，所占的空间一样大吗？侧着站呢？

人始终作为一个物质实存，在历史的轨迹中茫然前行，人的本质是主体，而人的自由则是生存的路标。在空间与时间的维度中，人类总是在过去、当下、将来三个维度中循环往复地生存着。人在过去的时间中已然生成，对于当下来说过去的人是一种已然状态；人在将来的时间中未出现，对于当下来说将来的人是一种应然状态；人在当下的时间中已然处之，对于当下来说是一种实然状态。当下是对过去的见证，是对未来的憧憬。人类在过去、当下和未来的三个历史维度中，不断对过去总结，并在当下的努力中实现对未来的超越。在持续地总结与超越中，当下的人才是自由的人，才是作为主体的人的责任所在。

生2：老师没有变，所以占的空间一样大。

师：比较我和生2，谁占的空间大？你是怎么知道的？

生3：老师占的空间大，因为老师比生2高。

生4：老师还比生2胖一点、厚实一点，所以占的空间大。

师：不错，老师不仅比生2高，还比他要“宽”和“厚”。

象鼩(qú)，又名跳鼩，是原产于非洲的小型哺乳动物。之所以被称为象鼩，是因为它们的长鼻子让人联想到大象，而它们的身形样貌又和鼩鼱类似。不过，科学家经过分析得出，象鼩和鼩鼱是两类不同的动物，而小小的象鼩与大象的亲缘关系反而更近。

师：物体所占空间是有大小的，我们把这个空间称为物体的体积。橡皮所占空间的大小就是橡皮的体积，土豆所占空间的大小就是土豆的体积，那么什么是铅笔盒的体积？

师：你们能总结一下，什么是物体的体积吗？

生5：物体所占空间的大小就是物体的体积。

以上教学环节中，概念的发生完全基于学生的知识经验储备和直觉体验，简单且开门见山。值得指出的是，在比较教师和生2所占空间的大小时，笔者并没有停留于谁占空间大或小的结果，而是进一步追问“你是怎么知道的”，引导学生进行高、宽、厚三维的比较，让学生体悟体积是指物体三维空间的大小，深化学生对体积概念的理解。

1998年，地处松嫩平原的巨浪牧场连降暴雨，本已四处漏风的泥草房再也经不起暴风雨的洗礼，一整面墙突然倒塌。无奈之下，全家只好紧急疏散，被牧场安置到场部西侧一个叫“西牛舍”的地方。

二、挖掘本质属性，深化概念理解

张奠宙教授在《从体积的定义说起》一文中写道：“小学数学的体积教学，不要在‘什么是体积’上做文章。要在体积所具有的特征上下功夫，力求触及数学的本质，增进五年级学生对体积意义的理解。”“体积与容积”是五年级学生学习长方体体积知识的起始课，其属于“度量”教学范畴，与长度、面积概念教学有类似之处。体积是对物体三维大小的一种度量，这也是体积的本质属性，同时对学生的空间观念也有一定的要求。因此，教师有必要设计三个层次的活动：第一层次是直观感受物体占空间；第二层次是直观比较两个物体体积的大小；第三层次是用自定单位来刻画体积的大小。通过三个层次的活动积极渗透“度量”意识，为后继学习做好蕴伏。

1.问题明辨，深化体积理解

师：一张纸有体积吗？你有什么想法？大家先讨论。

生1：将几十、几百、几千张纸叠在一起，它们是有体积的，所以一张纸肯定也是有体积的。否则如果一张纸的体积是0，那么几千张纸叠起来也不会有体积。这显然不对。

4.将点火开关置于ON(打开)位置，用故障诊断仪器指令进气歧管通路控制阀打开和关闭。测试灯应点亮和熄灭。如果测试灯始终点亮，则测试控制电路是否对搭铁短路。如果电路测试正常，则更换发动机控制模块。如果测试灯始终熄灭，则测试控制电路是否对电压短路或开路/电阻过大。如果电路测试正常，则更换发动机控制模块。

生2：把一张纸对折，再对折，再对折……这样几次后，纸的厚度就很明显了，所以一张纸是有体积的。

生3：把一张纸揉成团，就是一个近似的球体，而纸本身的本质没有变化，所以一张纸应该有体积。

师：这团纸的体积包括纸的褶皱间的缝隙吗？

生3：不包括，纸的体积只是纸占空间的大小。

③在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P) 最小，并写出T5(P)的值(只需写出结论).

生4：一张纸即使很薄，但还是有厚度的，所以也应该有体积。

师：大家说的真好。尽管一张纸很薄，但还是有厚度的，也占空间，就是有体积的。

师：在学习面积时，我们说面积是有大小的，现在体积也是有大小的，同样是“有大小”，它们有什么区别？

生5：面积是指一个面的大小，体积是指整个物体所占的空间大小。

生6：面积是指平面的大小，它没有厚度，体积有厚度。

生7：面积是二维的，体积是三维的。

问题往往是学生理解知识的“启发点”，通过对“一张纸有体积吗”这个“辨点”的讨论互动、举例辩证，让学生在深度思考中学会学习，理解体积概念。教师顺势引导学生比较面积和体积这两个概念，帮助他们进一步明晰体积概念的内涵。

2.等积变形，培养空间观念

师：用12个小立方体能搭出几种不同的长方体？它们的体积一样大吗？为什么？大家先用学具摆一摆。

师：先说说你搭出了几种不同的长方体？其他同学边听边想象这个同学搭的长方体是怎样的。

生1：我搭出了3 种不同的长方体。第一种是把12个小立方体摆成一排；第二种是摆成两排，每排6个小立方体；第三种是摆成四排，每排3个小立方体。

师：你能想象出来吗？（能）你有没有摆出和他一样的长方体？（有）还有谁要补充吗？

生2：还有一种，用长是3 个小立方体，宽是2 个小立方体，高是2个小立方体搭成长方体。

师：大家想一下，生2搭的是怎样一个长方体，你搭出来了吗？

师：如图2 所示，我们搭出了4 种不同的长方体，它们的体积一样大吗？

图2

生3：一样。因为都是用这12 个小立方体搭出来的。

生4：因为每个小立方体的体积都一样，且所用的小立方体数量相同，所以搭出的长方体的体积始终都是这12个小立方体的和，没有变。

生5：同意生3和生4的观点，4 个长方体虽然形状不同，但体积一样大。

空间观念的培养不是一句空话，尤其在几何图形的教学中，更要创造合适的教学时机进行学生空间想象能力的训练。在上述反馈的过程中，教师要求其他学生根据发言学生的描述想象搭出的长方体的样子，实质就是进行空间观念的培养。以上教学活动中，教师不失时机地进行了空间想象力训练，更让学生体会到“等积变形”的数学思想。

3.估计比较，渗透度量意识

师：通过活动我们对体积有了新的理解，下面考考你的眼力。这里有一个大立方体（图3 中的右边），请你猜测一下，它的体积是你手中的小立方体（图3 中的左边）体积的多少倍？

图3

生1：9倍。

生2：24倍。

生3：27倍。

……

师：老师准备了一些大小一样的大立方体，每个小组来领一个，请你们实际比较一下，看看到底是几倍。

（学生操作，教师巡视）

生（齐）：64倍！

师：你们是怎么比较的？

生4：我们用16个小立方体拼了一个底座，正好与大立方体底面一样大，再比较了一下，一共可以搭这样的4层（如图4），16×4=64（个），因此大立方体体积是小立方体体积的64倍。

2.1 两组患者一般临床资料比较冠心病组与非冠心病组在年龄、绝经年龄及冠心病危险因素(如体质指数、体表面积、吸烟、高血压及糖尿病史)方面差异均无统计学意义(均P>0.05)。见表1。

生5：我们用4个小立方体拼起来的长度分别与大立方体的长、宽、高一样（如图5），4×4×4=64（个），所以大立方体体积是小立方体体积的64倍。

图4

图5

以上教学环节中，笔者通过“估计比较”活动，促使学生自然而然地主动用单位立方体进行度量，体会“用自定单位刻画体积”的度量学习的本质，增加对体积概念理解的厚度。

三、重视比较联系，经历概念同化

容积是体积的下位概念，两个概念既有联系又有区别，容积概念的建立主要是概念同化的过程。

校企合作模式在汽车营销教学中的应用是院校进行教育、教学改革的一种有效途径。在传统的教学模式当中，大部分院校毕业生将会在在校的最后一年或半年时间内参加学校组织的实习工作，但是在有限的学时里学生无法把理论知识和实践很好地结合在一起，基本上无法达到学校预期的教学效果。

师：刚才我们了解了体积，今天还要认识一个概念——容积。有谁知道容积的意思吗？

生1：就好像袋子能装多少东西，这些东西的体积就是袋子的容积。

通过以上图例分析，我们获得了如下启示:当心电图上出现“高度或三度房室阻滞”伴逸搏心律时，在逸搏R-R间期中有2个P波，如果第二个P波总是围绕在QRS波的前、中、后，逸搏R-R间期小于2倍P-P间期，且出现典型的提前心室夺获，则通常可诊断为二度房室阻滞伴房室干扰形成的假性高度或三度房室阻滞，可通过加长记录心电图或改变心房率来观察其变化规律加以鉴别。

师：看看课本上是怎么说的——容器所能容纳物体的体积是容器的容积。什么是容器？

生2：比如杯子、书包、抽屉等能装东西的物体就是容器。

师（出示一个杯子）：这个杯子的容积指什么？

生3：杯子里面的空间的大小。

师：图6中，哪个杯子里的沙的体积相当于这个杯子的容积呢？

图6

生4：中间的杯子。左边杯子里的沙太少了，右边杯子里的沙满出来了。

防治方法：早期用药剂把蚜虫和灰飞虱消灭在迁飞至玉米田之前。用40%氧化快乐果3 000倍液或50%抗蚜威可湿性粉剂225～300g/hm2对水750～1 125kg/hm2喷雾。

师：也就是说，中间这个杯子容纳的沙的体积相当于这个杯子的容积。

随后，教师再呈现水桶、纸箱、冰箱等图片，让学生说说它们的容积分别指什么。

第二，加强政策扶持，营造良好的发展氛围，是推动农业产业化快速、健康发展的重要措施。增强政府指导服务，宏观调控职能，引导和规范农业产业化经营健康、有序发展；积极破解资金难题，培育融资担保机构，加快发展龙头企业资本市场，采取划转国有股产权、注入财政资金、引入社会资金等方法，组建农业投资公司，为加快发展提供充足的资金保障。不断强化政策扶持力度，积极开展农业产业化发展贡献表彰活动，调动各方力量，在全社会营造支持农业产业化发展的良好氛围。

四、重视实验明辨，深度理解概念

如果仅仅从文字表面去解读概念或对教材中叙述的概念进行咬文嚼字式的分析，那对体积和容积概念的理解就还是肤浅的。教师需要设计有争议的“辨点”，让学生通过操作实践、思考明辨进行深度学习，把原本感觉模糊的“辨点”辨清晰了，这样他们才会有自己深入的理解与表达。比如，对于“物体的体积一定大于这个物体的容积”这样的表述是否正确，很多学生是模糊的，教师在课堂中往往也是采取回避的策略，但这其实是明辨体积与容积概念的好素材。

阿里没有母亲了。这个悲哀的声音，成了他心里的母亲。阿里一天的精神寄托只能依赖于此，他又怎么忍心去剥夺阿里的这一点点念想？阿东想，姆妈，你能不能告诉我，我应该怎么做？