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判断线段间的关系是初中数学的重要题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初中同学的数学学习带来帮助。 例题如图，已知△ABC和△ADE为等腰直角三角形，F是BE的中点，试探究DF与CF的关系，并证明你的结论。 解题过程： 延长CF至点G，使得FG=CF，连接DG、DC 根据题目中的条件：F是BE的中点，则BF=EF； 根据全等三角形的判定和结论：BF=EF，∠BFC=∠EFG，CF=FG，则△BFC≌△EFG； 根据全等三角形的性质和结论：△BFC≌△EFG，则BC=EG，∠CBF=∠FEG； 根据等腰直角三角形的性质和题目中的条件：△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，AD=ED； 根据结论：AC=BC，BC=EG，则AC=EG； 根据三角形内角和公式和结论：∠CAD=180°-∠BAC-∠DAE-∠ABE-∠AEB，∠BAC=∠DAE=45°，则∠CAD=90°-∠ABE-∠AEB； 根据结论：∠ABE=∠ABC-∠CBF，∠ABC=45°，则∠ABE=45°-∠CBF； 根据结论：∠CAD=90°-∠ABE-∠AEB，∠ABE=45°-∠CBF，则∠CAD=45°+∠CBF-∠AEB； 根据题目中的条件：∠DEG=∠DEA+∠AEG，∠DEA=45°，则∠DEG=45°+∠AEG； 根据结论：∠AEG=∠FEG-∠AEB，∠CBF=∠FEG，则∠AEG=∠CBF-∠AEB； 根据结论：∠AEG=∠CBF-∠AEB，∠DEG=45°+∠AEG，则∠DEG=45°+∠CBF-∠AEB； 根据结论：∠CAD=45°+∠CBF-∠AEB，∠DEG=45°+∠CBF-∠AEB，则∠CAD=∠DEG； 根据全等三角形的判定和结论：AD=DE，∠CAD=∠DEG，AC=EG，则△ACD≌△EGD； 根据全等三角形的性质和结论：△ACD≌△EGD，则CD=DG，∠ADC=∠EDG； 根据结论：∠ADE=∠ADG+∠EDG=90°，∠ADC=∠EDG，则∠ADG+∠ADC=90°； 根据结论：∠ADG+∠ADC=90°，∠ADG+∠ADC=∠CDG，则∠CDG=90°； 根据等腰直角三角形的判定和结论：CD=DG，∠CDG=90°，则△CDG为等腰直角三角形； 根据等腰直角三角形的性质和结论：△CDG为等腰直角三角形，CF=FG，则DF=CF，DF⊥CF。 结语解决本题的关键是合理添加辅助线构造出一组全等三角形，得到线段、角度间的等量关系，同时又得到一组全等三角形，进而证明到等腰直角三角形，利用其性质就可以得到题目需要的结论。 |
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