垂线段最短 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。(简称垂线段最短) 三角形的任意两边之和大于第三边 AB+BC>AC AB+AC>BC AC+BC>AB 上面这个结论是由“两点之间,线段最短”而得到. 引入正题 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆O与CA、CB分别相交于点M、N,则MN的最小值为_________. 下面的动态图,给你有启发吗? 根据上面的提示仔细思考一下吧 。。。 分析 简略解答 设⊙O与AB切于D,连结OD、OC、CD ∴OD⊥AB. ∵∠ACB=90°, ∴MN是⊙O的直径. (1)当O、C、D三点不共线时,在△OCD中, OC+OD>CD, 而MN=OC+OD, ∴MN>CD.(注意,这时CD不是垂线段!) (2)当O、C、D三点共线时, OC+OD=CD,则MN=CD, 由上可知MN≥CD ∴MN的最小值是CD,此时CD为点C到AB的垂线段, 即Rt△ABC斜边AB上的高CH. 由S△ABC=1/2·AC·BC=1/2·AB·CH可得: AC·BC=AB·CH, ∴CH=AC·BC/AB=3×4/5=2.4 ∴MN的最小值为2.4. |
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