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最值问题之费马点

2020-01-19  鼎新教育

黄鹤楼送孟浩然之广陵

 李白

故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。

一首伤感、唯美而豪放的送别诗,道尽谪仙人李白对朋友的依依不舍之情。话说当时,李白在安陆颓废十年,然后又跑到武昌送别忘年交孟浩然到扬州去,如果他要到安陆、武昌、扬州三地都去一趟,从哪个地方出发最方便呢?

这就牵扯出了数学里比较古老而且极其有趣的一个问题:费马点问题!

基本问题

ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小.

解题障碍:一动点到三定点距离,3条折线长度和最短,不知如何入手。

问题动态情境:

解题之道:折转直

解题之术:作旋转

解题之本:我们知道PAPBPC三条线段是极度分散的,利用两点间线段最短或者垂线段最短都不行,那首先要想办法将分散的线段集中起来,这样才能进行数学分析。

我们可以利用旋转的方法可以把线段进行转移。注意是旋转60°,

动态解释:(具体细节自行推导)(此题还可以利用手拉手模型去理解)

如何做出这个点P呢?

两边各做一个等边三角形,然后连接即可得到:

也可以利用外接圆得到:

注意这里还有一个有趣结论:

当三角形的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°.

母题生长

问题:若三角形有一内角不小于120°

如图,△ABC中∠B大于120°,在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小.

问题:如果给线段进行加权(来自几何数学)

(1)   ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内用尺规画出一点P,使2PA+PB+PC的值最小,并请说明理由。

2)△ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内用尺规画出一点P,使的值最小,并请说明理由。

3)△ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内用尺规画出一点P,使3PA+4PB+5PC的值最小,并请说明理由。

问题:若换成背景为四边形呢?即如何求一个点到不共线的四个点距离和最短。(对角线交点)

如图,请找出一点P,使PA+PB+PC+PD的值最小。

问题:在三角形外是否存在一点到三顶点距离和最小?

好像没有

问题:模型与三角形

问题:模型与四边形(来自攀峰随笔)

如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点PBC=6,∠ABC=150°,求AP+BP+PD的最小值.

变式2.如图,已知四个城市ABCD的位置为正方形的四个顶点,现要建设高速公路连结ABCD四个城市,请你设计出最短的高速公路的线路图。

(注:不计连接点的个数,使得总路程和最小.)

答案:如果只有一个点就是对角线交点,如果有两个点那就是对角线形成三角形的费马点。

问题:模型与五边形

中考真题

2019武汉中考第16

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