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所有科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数——所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。 —— 穆尔 E.H.Moore 一、背景 在美索不达米亚平原政权频繁更迭的同时，非洲尼罗河畔的古埃及文明一直和平稳定地独自发展，直到公元前332年亚历山大大帝征服它。 公元前2500年左右金字塔的建立见证了其最高峰。 古埃及人造出了他们自己的几套文字，其中一套是象形文字，主要用在纪念碑文和器皿上。从公元前2500年左右起，埃及人用一种“僧侣文”做日常书写。它是拼音的，每个音节由一个会意文代表，而整个文字则由一些会意文组成。书写的方式是用墨水写在纸草（papyrus）上。 现存的古埃及数学文件主要是保存在莫斯科普希金精细艺术博物馆的莫斯科纸草书和保存在大英博物馆的莱因德纸草书，分别记载了25道和85道数学问题和解答。这些是埃及人早在公元前3500年就已经知道的。 二、算术 在古埃及前王朝时期就创立了完整的数字符号，采用了十进位制。埃及数字虽然是“十进制”，但它是“自然十进制”。人有十个手指，每次用手数到十后就数不下去了，只有做个记号才能继续数，这里做个记号实际上是“进位”。显然“自然十进制”与我们今天使用的、含有“0”和“位数”的十进制有本质区别。 古埃及创建了完整的运算法则，有加法、减法、倍乘、分数算法，加减乘除用的是叠加法，去“凑”。 莱因德纸草书第70题：计算100除以（7+1/2+1/4+1/8）。过程精彩但繁复，计算结果为12+2/3+1/42+1/126。那时，埃及对分数的写法非常讲究，除了三分之二和四分之三有两个专用符号外，其他分数的分子统统必须是1，即单位分数。 运算复杂也是埃及算术和代数未能发展到更高水平的原因之一。 三、代数与几何 埃及人掌握了一些未知量问题的解法，相当于今天的一元一次方程和一元二次方程，但所用方法纯粹是算术的——试算法，不成其为解方程。纸草书中还有算术数列和几何数列的具体问题。 莱因德文稿中24题：一个数加上它的七分之一等于19，问该数等于多少。文稿给出了详细的计算步骤。埃及“解方程”的试算法在汉代的《九章算术》中也有，不过时间上晚了1700年。 古希腊历史学家希罗多德说，埃及是因为尼罗河每年涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的——几何的英文“GEOMETRY”意即土地测量。埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法；掌握了计算圆的面积的公式，使用的π=3.1605；还有算立方体、箱体、柱体和其它图形体积的法则。但这些只是实用工具，从未成为一门独立于算术和代数的几何学科。 莫斯科纸草书第6题：长方形面积为12，宽是长的四分之三，问边长是多少。这实际上是解一元二次方程，说明埃及人已经会开方。当然，肯定还是“凑”。 莫斯科纸草书中最有名的题目是：正方形底边长4，正方形顶边长为2，正四棱台高为6，问体积是多少。作者给出了答案和解答过程。这意味着，3800年前埃及人已经知道正四棱台的计算公式是1/3（a2+ab+b2）h。 这一结果令人惊奇。因为公式中含有“面积”和“体积”的定义，即如何定量的描述面积和体积。3乘2在数值上等于3个2相加。长方形边长分别等于3和2时，其面积也等于3乘2。都是3乘2，但此“乘”和彼“乘”有本质的不同。计算面积的“乘”已经不是3个2相加的“乘”。对埃及人来讲，矩形面积的计算已被“定义”为边长相乘。同理，先有几何意义上“体积”的概念，然后才有体积计算：面积乘“高”。 埃及人也有自己的天文学，用于预报洪水，计算历法等，但不如巴比伦人高明。 康翁波神庙（Temple of Kom Ombo，下图）里的太阳石上有世界上最早的日历。 埃及人结合天文学和几何学建造金字塔，底部的形状、底和高的的尺寸之比都有重大的意义，但并未包含什么深刻的原理。 古埃及人运用数学来管理国家和宗教事物、求谷仓的容积和田地的面积、计算建造房屋所需要的砖块数、确定付给劳役者的报酬以及计算酿造一定量啤酒所需的谷物数量等。所有数学问题主要用于解决商业人员和行政管理人员的需求，而求解的方法则是从工作经验中得出的实用法则。实际上，他们没有想到需要任何理论科学。 比较而言，埃及人（包括巴比伦人）好比粗陋的木匠，而即将登场的希腊人则是大建筑师。 下一讲古典时期的希腊数学。 |
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