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正如太阳之以其光芒使众星失色，学者也以其能提出代数问题而使满座高朋逊色，若其能给予解答则将使侪辈更为相形见绌。——婆罗摩笈多（Brahmagupta） 古印度桑奇大塔 一、早期印度数学 在数学史上，希腊人的后继者是印度人。虽然印度的数学只是在受到希腊数学成就的影响后才颇为客观，但他们也有早期具有本地特色的数学。 印度文明可远溯到公元前2000年，但据今日所知，他们在公元前800年是没有数学的。在公元前800年到公元200年的绳法经（Śulvasūtra）时期（也称吠陀时期），印度人创造出一些原始数学。他们没有专门记载数学的文件，但我们可以从其他著述中，从钱币和铭文中，掇拾出少量有关数学的事实。 大约在公元前3世纪左右，出现了数的记号，但每个世纪都有相当大的变动。典型的是婆罗米（Brahmi）式记号： 这一组记号的出色之处是它给从1到9的每个数都有单独的记号。这里还没有零和进位记法。这种写法也许是由于以该数名称的第一个字母来代替它而产生的。 有一类宗教经文叫绳法经，内含修筑祭坛的法则。在公元前4或5世纪的一部绳法经里给出了√2的近似值，但不确定他们是否知道这仅仅是近似值。 绳法经中的法则规定了祭坛形状和尺寸所应满足的条件。最常用的三种形状是方、圆和半圆，但不管用哪种形状，祭坛面积必须相等。因此印度人要作出与正方形等面积的圆，或两倍于正方形面积的圆。另外一种形状是等腰梯形，并且这里可用相似形。因此在作相似形的时候会引起新的几何问题。 在设计这种规定形状的祭坛时，印度人必须懂得一些基本的几何事实，例如对毕达哥拉斯定理，他们是这样说的：“矩形对角线生成的面积[正方形]等于矩形两边各自生成的两块面积之和。”这段时期的几何是一些不相连贯的用文字表达的求面积和体积的近似法则。公元前4或5世纪的阿帕斯塔姆巴（Apastamba）给出一个作圆等于正方形面积（即化方为圆）的方法，他实际上是取圆周率等于3.088，但他认为这作图法是准确的。在这早期的全部几何里没有证明，法则都是经验性的。 其作法是这样的（上图）：从已知正方形的中心O向边AB引垂线OP，使OP等于正方形对角线之半，并交AB于H。 二、公元200—1200年时期印度的算术和代数 印度数学的第二段时期（高潮时期）大致可以说是从公元200到1200年。这时期的第一阶段，亚历山大的文明肯定对印度有影响。公元500年左右的一位印度天文学家瓦拉哈米希拉（Varāhamihira）说：“希腊人虽不纯正（凡信仰不同的人都是不纯正的）但必须受到崇敬，因他们对科学训练有素并在这方面超过他人。那么对于一个既纯正而又有科学高见的婆罗门又该怎么说呢？”印度人的几何肯定是从希腊来的，但他们在算术上确有特殊的才能。至于代数他们也许是从亚历山大袭取的，并且可能直接得自巴比伦，但在这方面他们也按自己的道路走得相当远。印度从中国方面也颇有借鉴之处。 第二阶段中最重要的数学家是阿耶波多（Āryabhata，生于476年）、婆罗摩笈多（生于598年）、马哈维拉（Mahāvīra，9世纪）和婆什迦罗（Bhāskara，生于1114年）。他们以及其他印度数学家的大部分工作一般是为了研究天文和占星术而产生的。事实上他们没有写专门的数学书，数学材料是夹在天文著作的篇章里讲述的。 公元600年之前，印度人写数的方法很多，有的甚至用字和音节来表示数。600年他们又回到较老的婆罗门式记号，但这些记号的确切形式在整个时期内是不定的。以10为底的进位记法已经在有限范围内使用了约一百年，到这时就通用了。早先亚历山大希腊人只用0来表示哪一位上没有数，如今在印度人那里0被看成是一个完全的数了。马哈维拉说一数乘以0得0，并说减去0并不使一数变小。但他又说一数除以0后不变。婆什迦罗在谈到分母为0的分数时，说不管加减多少，这个分数是不变的，正如万世不易的神不会因世界的创生和毁灭而有所改变。他又说一数除以0称为无穷量。 天文上的分数，印度人用60进制。其它方面的分数用整数之比来表示，但没有用横线，只是两个整数上下排列。马哈维拉还给出我们今日的除以分数的法则：把分数颠倒相乘。他给出的组合数公式在当时是领先的。 印度人引用负数来表示负债。最早用负数的是628年左右的婆罗摩笈多，他又提出了负数的四种运算，同时是第一个解出佩尔方程 的数学家，并提出了婆罗摩笈多定理。 婆什迦罗指出正数的平方根有两个，一正一负。他也提到负数的平方根的问题，但说负数没有平方根，因为负数不能是平方数。他们没有给出定义、公理或定理。 印度人在算术上采取的另一重大步骤是正视了无理数问题，就是说他们开始按正确步骤来运算这些数。例如婆什迦罗说：“两个无理数之和叫做较大的无理数；而其乘积的两倍叫做较小的。它们的和与差是照整数那样来算的。”然后他指出怎样把无理数相加： 其一般原理是： 其中无理数被当作具有整数那种性质的数来对待。 婆什迦罗又给出两个无理数相加的法则：“较大的无理数除以较小的，所得之商开方，再加1，和数取平方，然后乘以较小的无理数，其根即为两无理数之和。”例：
印度人不像希腊人那样细致，因为他们看不出无理数概念所牵涉的逻辑难点。他们对计算的兴趣使他们忽视了哲学上的区别或希腊人认为属于基本的那些原理上的区别。他们随着兴致所至把适用于有理数的运算步骤用到无理数上去，却帮助数学取得了进展。此外，他们的整个算术是完全独立于几何的。 印度人用缩写文字和一些记号来描述运算。这套记号虽然不多，但足够使印度代数几乎称得上是符号性的代数，并且符号肯定比丢番图的缩写代数用得多。他们的问题和解答都是用这种半符号方式写出的，但只写出运算步骤，没有随即说明理由或证明。 印度人认识到二次方程有两个根，而且包括负根和无理根。 在不定方程方面印度人超过了丢番图。这种方程出现在天文问题里，它们的解就是某些星座出现于天空的时间。印度人要求出所有的整数解，而丢番图则得出一个有理的解。求ax± by = c（a、b、c是正整数）的整数解的方法是阿耶波多最先提出并由他的后继者加以改进的。它和现代方法一样。
阿耶波多，印度第一颗人造卫星以他命名 考察ax + by = c。若a及b有公因子m，而m又不能除尽c，那就不可能有整数解。若a、b及c有公因子，就把它约去。由此，我们只要考虑a与b互质的情形就行了。 假设a > b，用欧几里得辗转相除法求最大公因子，有a = a1b + r，此处a1为商而r为余数。因此a/b = a1 + r /b。这又可写为：a /b = a1 + 1/ (b /r)。 第二步是以r除b，于是b = a2r+ r1，或b /r = a2+ r1/r。代入上式，便可写成：
继续做欧几里得算法，得所谓连分数：
这个步骤在a<b时也可用，这时a1是零，而以后各步仍照以前那样往下做。取到第n个商为止的连分数，叫做第n个收敛子。若a和b是整数，则连分数是有尽头的，故有一收敛子正好在a/b的准确表达式的前面。若p /q是这收敛子的值，则可证：aq-bp=±1。 考察上式中取正值的情形。回到原来的不定方程，可写：ax + by = c (aq - bp)。 整理各项后，得：(cq - x) /b = (y + cp) /a。 若以t代表上述分数，得：x = cq - bt，y = at - cp。 现在给t指定整数值，由于其他所有的量都是整数，这样就可以得出x和y的整数值。 印度人也研究二次不定方程。他们解出了y²=ax²+1（其中a不是平方数）这种类型的方程，并可看出这种类型对处理cy²=ax²+b很重要。所用的方法太特殊，不值得在这里介绍。
1881年在巴基斯坦发现的巴克沙利手稿 他们常把数学问题用故事或诗歌的形式提出来，或夹杂在历史读物中。目的可能是帮助记忆，因为婆罗门的老习惯是把事情记在心上而尽可能避免写在纸上。代数被用在普通商业问题上——算利息、折扣、合股分红、财产划分，但主要的用途是在天文上。 三、公元200—1200年时期印度的几何与三角 这段时期的几何没有什么出色的进展，它不过是些求面积和体积的公式（有的正确，有的不正确）。他们的圆周率一般是不正确的，常常用来代替圆周率，但有时也会出现较好的值3.1416。他们给出任一四边形面积的公式为
其中s是半周长，abcd是圆内接四边形的边长。他们没有给出几何证明，总的来说他们对几何是不大注意的。 印度人在三角术方面作出了一些推进。托勒密曾用弧的弦，以直径的120等分为单位来作计算。瓦拉哈米希拉采用半径的120等分作为单位，因此托勒密的弦长表变成他的半弦长表，但对应的仍是全弧。他引入正弦概念，制作了世界上第一张正弦函数表。 阿耶波多作了两项改革。第一，他把半弦与全弦所对弧的一半相对应；印度人对正弦的这种观点为以后所有印度数学家所采用。第二，他把半径的3438等分作为单位。这个数来自：他把圆周的360·60等分定为单位（整个圆周所含的分），然后用C=2πr，而取π的近似值为3.14。这样在阿耶波多的三角方案里，30°弧的正弦（即对应30°弧的半根弦之长）是1719。印度人也用余弦，但较常用的是取其余弧的正弦。他们还采用正矢即1-cos θ。 值得注意的是印度人用代数形式的恒等式而不像托勒密那样用几何论证，并且是利用代数关系来作算术计算的。这种做法原则上和今天一样。 印度的所有三角术几乎全是天文学的副产品。他们的标准天文著作有4世纪的《太阳系Sûrya Siddhânta》和6世纪阿耶波多著的《阿耶波多历数书Āryabhatiya》。主要著作是1150年婆什迦罗写的《天文系统极致Siddhānta Siromani》，其中有两章叫“论美Līlāvatī”和“论求根Vīja-ganita”，是讨论算术和代数的。
婆什迦罗《论美》 印度人继续做古希腊人在算术天文上的小部分工作（源于巴比伦），这就是通过观测数据的外推来预报行星和月球的位置。印度人甚至在圆心、分（1度的1/60）和其他用语上都是从希腊字直译过来的。印度人不太关心均轮和周转圆那一套理论，但他们确实提出了大地呈球形的学说。 到1200年左右印度科学活动衰落了，数学上的进展停止了。 综上所述，印度人注重数学的算术和计算方面，但不甚重视演绎结构。他们称数学为ganita，意思就是“（计）算（科）学”。他们有许多好方法和计算技巧，但未曾发现他们考虑过任何证明。他们有计算法则，但不管其在逻辑上是否合理。而且在数学的任何领域里他们没有得出过一般方法或提出过新的观点。 相当肯定的一件事是，印度人并不把他们自己的贡献放在眼里。他们的一些好想法，如给1到9的数单独设立记号，改用10为底的进位制，负数，都是偶然采用的，并不认为是什么有价值的创举。他们对数学上的价值是不敏感的。和他们自己提出的观念一起，他们还接纳了埃及人和巴比伦人的极粗浅的观念。波斯历史学家阿尔比鲁尼（al-Bîrûnî，973—1048）说过：“我只能把他们的数学和天文著作……比作宝贝和烂枣，或珍珠和粪土，或宝石和卵石的混合物。在他们眼里这些东西都是一样的，因为他们没有把自己提高到科学演绎法的高度。” 下一讲阿拉伯数学。 |
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