微积分的本质是什么？

微积分的本质是什么？能否用通俗易懂的语言表达？

微分和积分的本质必须合起来讲，才有可能通俗易懂；要是分开来讲，反而变抽象了。

我们不妨以事物在时间中产生变化为例。积分相当于是指事物经历时间后产生的总变化量，微分则相当于指事物在每一个刹那的微小变化量。因此，积分显然是由微分累积而成的。所以这个道理其实只是一个非常简单的常识，可以归纳为一句话：

一段时间的总变化量，是由这段时间中的每个刹那的变化量累积而成的！

这是不是简单到跟废话没有差别？的确就是这么简单。

我们将总变化量切分成一份一份（由时间来衡量的话，就是一刹那一刹那）的变化量的过程叫做微分；而将一份一份的变化量累积出总变化量的过程叫做积分。

我们要特别注意到，这里有一个难点：

• 每个刹那的变化量，或者说每一份微分其实基本都是不同的，因为每个刹那的变化率在绝大多数情况下都不是均匀的（否则我们就不需要微积分了）。
  
• 就像我们开车时，由于每个刹那的实际速率其实都是不同的，导致每个刹那的位移量也有大小不同。
  

因此，我们就必须能找到办法来计算每一份微分，然后能通过微分来计算积分。这就是微积分所要完成的总任务。

微积分的本质，事实上彻底体现在一个数学公式，被称为“微积分基本定理”，又称为“牛顿-莱布尼兹公式”：

这个公式如果能够理解的话，其实就等于彻底理解了微积分思想的全部。剩下的就只是对微分与积分规则的技术性掌握了。既然是谈本质，我们这里就不谈技术性问题了。

这个公式涉及到两个函数，一个是f(x)，一个是F(x)。至于什么是函数，不懂的话得自己去自学，毕竟这属于初高中的知识，否则得通俗到从小学讲起了。

在这个公式中，F(x)可称为f(x)的一个原函数或者不定积分。F(x)在x点上的变化量，也即在x点时的微分，我们标记为dF(x)；它是在x点的变化率也即f(x)与该点发生的微小变化量dx的乘积，也即dF(x)＝f(x)dx。所以f(x)＝dF(x)/dx，因此f(x)又称为F(x)的导数函数。

假设有一个事物在运动，我们不妨将函数f(x)理解为记录该事物的速度关于时间的函数，而将F(x)理解为该事物的位移关于时间的函数。于是dF(x)＝f(x)dx的意思其实是指x刹那时的微小位移量，等于x刹那时的速率与该刹那时间的乘积。

如果初始时刻是a，而末了时刻是b，则时间的自变量x就从a变化到了b。于是F(b)－F(a)显然就是指从时刻a到时刻b，事物的位移量，也即f(x)在这个时间段的定积分。它是怎么计算出来的呢？它是从时刻a到时刻b的每一份微小位移（微分）累积而成的总位移量(积分)。

明白了上述道理后，我们会发现，如果我们掌握了计算微分以及积分的基本规则，我们也就有办法计算变化率不均匀事物在运动变化中的瞬间变化率(导数)，瞬间变化量(微分）以及积累的总变化量(积分）的根本办法。这显然就更加对应现实世界了。

思想真正掌握了，再具体去熟悉计算规则，微积分也就不见得有多少难度了。