第三次数学危机

十九世纪末和二十世纪初, 德国数学家康托尔(Cantor , 1845 -1918)创立了集合论, 初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础。尽管最初的时候集合论遭到了一些排斥和争议，但经过十几年的考验，集合论作为一种数学语言得到了数学界的公认。正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时, 一串串数学悖论却冒了出来, 又搅得数学家心里忐忑不安。

1897 年意大利数学家布拉里﹒福尔蒂（Burali Forti）揭示了集合论的第一个悖论——最大序数悖论。两年后康托尔本人发现了一个类似的悖论——最大基数悖论。这两个悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们和逻辑学家的足够重视。但罗素于 1901 年 5 月发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。

伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872年—1970年），英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。罗素不仅在哲学、逻辑和数学上成就显著，而且在教育学、社会学、政治学和文学等许多领域都有建树，是一名难得的“文理通才”。他于1908年当选为皇家学会会员，1950年获诺贝尔文学奖， 并被授予英国嘉行勋章。他提出的以他名字命名的“罗素悖论”曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是他本人于 1919 年提出的，它涉及到某村理发师的困境。

一位塞尔维亚的理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村子里这样的人刮脸。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的变化性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”。如果他自己给自己刮脸，那么就不符合他的原则，就不应给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么他就符合自己的原则，就该按他的原则为自己刮脸。无论选择哪种情况，总会引发矛盾！太奇怪了！

真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!

罗素悖论的出现, 震撼了整个数学界。本应作为全部数学之基础的集合论, 居然出现了内耗！怎么办？数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了！原来是,康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有作必要的限制,以致于可以构成“一切集合的集体” 这种过大的集合，使得其中的元素能包含该集合自身，让罗素这样的“好事者”“钻了空子” 。

怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论呢？

德国数学家策梅罗(Zermelo)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,

从逻辑上保证集合的纯粹性。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和NBG公理系统。

1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后

来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔（Fraenkel）的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集，因此罗素悖论在该系统中被避免了。

除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼（von Neumann

等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的'collection'都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

冯诺依曼

策梅罗

公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得诸如“自我指涉”“数学语言的局限性”这类数学基础问题，第一次以最迫切需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，即逻辑主义流派、形式主义流派和直觉主义流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展。

纵观三次数学危机，都与人们对“无穷”的认识过程中所产生的困惑息息相关。第一次数学危机是“无穷可分”，第二次数学危机是“无穷小量”，第三次数学危机是“无穷集合”。逐步澄清概念和解决悖论的过程，一方面大大提高了对于“无穷”这一神秘难解概念的认识，并使得数学越来越公理化、概念符号运用也更加明确；另一方面也使数学的确定性一步步丧失。而如今在数学界围绕“无穷”的争论还依旧存在（比如“潜无穷”与“实无穷”之争），也可能酝酿着下一次数学危机。

那么该如何来评价数学史上的这三次危机呢？我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说：“由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性，在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中，本来就具有产生悖论的可能性，但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性，人类认识世界的深化没有终结，悖论的产生和排除也没有终结。”