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动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题 . 解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决， 解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系． 【例题】如图所示，在直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为 (-1，0)，(3，0)，(0，3)， 过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线 l，D 为对称轴 l 上一动点．  (1) 求抛物线的解析式； (2) 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标； (3) 以点 A 为圆心，以 AD 为半径作 ⊙A． ① 证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与 ⊙A 相切； ② 写出直线 BD 与 ⊙A 相切时，D 点的另一个坐标． 【思路点拨】 (1) 根据 A、B 两点在 x 轴上，可设交点式求抛物线的解析式． (2) 要 AD + CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定 D 点位置，从而求出点 D 坐标． (3) 要让 BD 与 ⊙A 相切，只需证 AD⊥BD，由圆的对称性，可直接写出 D 点另一个坐标． 【答案与解析】  (1) 设抛物线的解析式为 y＝a( x + 1 )( x - 3 )． 将 C(0，3) 代入上式，得 3＝a( 0 + 1 )( 0 - 3 )． 解得 a＝-1． ∴ 抛物线的解析式为 y＝- ( x + 1 )( x - 3 )， 即 y = - x2 + 2x + 3． (2) 连接 BC，交直线于点 D′．  ∵ 点 B 与点 A 关于直线 l 对称， ∴ AD′＝BD′． ∴ AD′ + CD′＝ BD′ + CD′＝BC． 由 “两点之间，线段最短” 的原理可知：此时 AD′ + CD′ 最小，点 D′ 的位置即为所求． 设直线 BC 的解析式为 y＝kx + b， 由直线 BC 过点 (3，0)，(0，3)，  ∴ 直线 BC 的解析式为 y＝- x + 3． ∵ 对称轴为 x＝1．将 x＝1 代入 y＝- x + 3，得 y＝-1 + 3 ＝ 2． ∴ 点 D 的坐标为 (1，2)． (3) ① 连接 AD．  设直线 l 与 x 轴的交点为点 E． 由 (2) 知：当 AD+CD 最小时，点 D 的坐标为 (1，2)． ∵ DE＝AE＝BE＝2， ∴ ∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴ ∠ADB＝90°． ∴ AD⊥BD． ∴ BD与 ⊙A 相切． ② (1，-2)． |
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