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可以说，所有的数学问题都是分解转化为基本模型来解决的，解题就是组织和构造模型的过程。所谓模型，指一组有固定特征相互关联的元素所形成的具备独特性质的结构。每个数学概念和性质都是一个基本模型，若干基本模型可以组成复合模型，从具体问题中识别构造数学模型可以考察和训练学生的抽象能力、分析能力、建模能力，帮助学生深刻理解知识之间的联系与转化。 比如初中阶段非常典型的“手拉手”模型，它时常变脸以各种不同的面目出现在各种不同阶段不同难度的题目中，令许多学生感到防不胜防屡屡中招，其实只要弄清原理和方法，就可以融会贯通灵活应用。 一、模型的基本结构： （1）两个共顶点的等腰直角三角形OAB和OCD，可证得△OAC≌△OBD（SAS），且是旋转90度的位置关系，AC与BD相等且垂直。 （2）两个共顶点且顶角相等的任意等腰三角形OAB和OCD，可证得△OAC≌△OBD（SAS），且旋转角为∠AOB，AC与BD相等且交角等于∠AOB。 （3）两个共顶点的任意相似三角形OAB和OCD，可证得△OAC∽△OBD（两边成比例且夹角相等），且旋转角为∠AOB，AC:BD=AO:BO，且交角等于∠AOB。 二、模型的抽象表征 研究表明，知识的抽象表征是深度理解的标志，它有利于知识的广泛迁移和灵活应用，所以对以上模型不仅要有直观认识，而且要能进行抽象概括。 条件特征：共顶点的两个三角形相似，其中一个旋转缩放可以得到另一个，即对应点的排列顺序相同。 结论推导：把两个已知相似三角形的对应点连接得两条线段，分别与公共点构成的两个三角形也相似。（已知三角形是等腰三角形时相似比为1，即得全等） 三、模型的直接应用：由一生二，导角导边 例1.如图，△OAB和△OCD都是等边三角形，求证：OP平分∠APD
分析：如下图，由“SAS”证△OAC≌△OBD，作AC、BD边上的高，可得全等三角形对应高相等OE=OF，所以OP平分∠APD。
例2.如图，点O在线段AB上，△OAB和△OCD都是等边三角形，试探索EF与AD的位置关系。
分析：同理可证△OAC≌△OBD，得∠OAF=∠OBE，再证△OAF≌△OBE，得OF=OE，又∠BOC=60°，所以△OEF是等边三角形，∠OEF=∠DOC=60°，即可得EF∥AD。 例3.如图，分别以△ABC三条边为边在同侧作等边三角形，试探索当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。
分析：找出图中的手拉手模型，可证△ABC≌△DEC≌△FBE，得DE=AB=AF，EF=AC=AD，所以四边形ADEF是平行四边形（∠BAC≠60°），若是矩形需∠DAF=90°，可得∠BAC=150°，即当∠BAC=150°时四边形ADEF是矩形。
四、模型的转化应用：添补拆分，化隐为显 例4.如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，O是AC和DF的中点，求BE：AD的值。
分析：以O为公共点构造“手拉手”模型，可证得△BOE∽△AOD，BE：AD=OB：OA=√3。
例5.如图，矩形OABC和矩形ODEF中，OC=6，OA=3，OF=3，OD=1，求AD：CF：BE的值。
分析：图中含有两组“手拉手”模型，第一组如下图，
上图中△AOD∽△COF，得AD：CF=OC：OA=2：1。 第二组“手拉手”如下图，
如上图，同理得△BOE∽△COF，得BE：CF=OB：OC=√5：2，所以BE：CF：AD=√5：2：1。实质上结果即是矩形的对角线和两边的比。 例6.如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AED=90°，O是CD的中点，试探索EF与BF的数量关系和位置关系。
分析：“手拉手”模型由两个共顶点的相似三角形构成，并且是旋转缩放关系。图中△ABC和△AED相似但方向不一致，所以将△ABC和△AED翻折即可得到“手拉手”模型，如下图：
可证△ACM≌△AND，得CM=DN，CM⊥DN，又EF=1/2 CM，BF=1/2 DN，知EF=BF，又EF∥CM，BF∥DN，知EF⊥BF。
五、模型的构造应用：一转成双，一有尽有 例7.如图，AC=BC，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=3，BE=2，∠DCE=45°，求DE的长。
分析：构造“手拉手”模型把相关线段转移集中，即把△ACD绕点C旋转90°至△BCF，如下图：
由旋转可得△BCF≌△ACD，BF=AD，∠CBF=∠A=45°，再证△CEF≌△CED，得EF=DE，在Rt△BEF中，可求EF=√13，即DE=√13。 例7.如图，AP=4，AB=10，∠BPC=90°，tan∠BCP=2，求AC的取值范围。
分析：图中的关键线段AB、AP、AC如何转化集中使其产生关系呢？图中形状确定的△BCP如何应用？如下图，把AB、AC、AP其中一条线段分别绕点B、C、P旋转缩放构造“手拉手”即可。 作AD=1/2 AB=5，，∠BAD=90°，可证△BCD∽△BAP，得CD：AP=BC：BP=√5：2，CD=2√5，所以5-2√5≤AC≤5+2√5。
以下几种构造原理相同：
例8.如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AB=AD，BC=2，CD=3√2，求AC的长。
分析：俗话说“独足难行，孤掌难鸣”，图中已有一个确定形状的三角形△ABD，再构造一个与之形状相同大小确定的三角形组成“手拉手”模型即可使图形产生联系，如下图：
构造∠CAE=90°，AE=AC，证得△ADE≌△ABC，导边得DE=BC=2，导角知∠CDE=135°，在△CDE中解三角形得CE=√34，所以AC=√13。 上图也可以看成把关键图形△ABC绕点A逆时针旋转90°而得。
本题依同样的思路还可以产生多种构造方法，读者可自行思考。 在以上分析问题寻找思路的过程中，运用了观察联想、推理转化等思维策略，使用了定变分析、完形构造等解题方法，采用了分解组合、运动变换等构造方式，直达本质、简单明了，让解决问题更加高效准确。 数学教学不仅要关注知识概念的结构化系统化，还要关注方法策略的结构化系统化，而且后者更为重要，因为这决定着所学知识能不能转化为实际能力。但学校教学一般仅注重知识概念的整理归纳，缺乏对方法策略的总结提炼和系统训练，只是在反复练习过程中使原本已掌握的东西增加熟练程度而已，导致学生的思维层次很难跃升，出现“会的一直会，不会的始终不会”这种原地徘徊现象。 |
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