计算角度的19大模型全梳理（优选）

想必你在“平行线”这一章中苦苦挣扎

苦恼辅助线如何添加

惆怅过程如何书写

感叹方法很多却想不到

悲愤做题思路太慢

那认真学习这篇内容，一定会助你一臂之力

模型大总结

以下各个模型证明方法不止1种，有兴趣的可以多研究，将各类知识融会贯通

01

猪蹄模型

02

铅笔模型

03

铅笔模型的变异

04

  牙齿模型

05

    A字型基础型

06

A字型外角型

07

 A字模型变形

08

   8型基础型

09

8字一般用法

10

  燕尾型

11

筝型

12

母子型

13

  一线三等角模型

结论：∠A=∠DCE；∠ACB=∠E （阴影部分三角形，对应角度相等）  

证明方法：利用外角∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠A，可以得到

14

两内角角平分线交于点P 

15

两外角角平分线交于点P

16

一内一外角角平分线交于点P

17

同旁内角+角平分线

18

  燕尾+角平分线

19

8型+角平分线

【知识调用---基本概念1】

概念

1.    有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等．

2.   如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

3.  如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．

4. 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．

5.  有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫邻补角．

邻补角既有位置关系，又有大小关系．

6. 垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足．

【知识调用---基本概念2】

概念

 1.  两条直线被第三条直线所截，形成了8个角．

2.   同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角．F型，如∠3和∠7，∠1和∠5等

3.   内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角．Z型，如∠2和∠6，∠3和∠5等

4.   同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角．C型，如∠3和∠6，∠2和∠5等

特别强调：

5.   这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系．

直接说：“同位角相等”，这句话是不对的．

6.   判断是否为三种角，只需用顺着角两边“描线法”，判断是不是为F型，Z型，C型；

7.    三种角，每一对中，公共的一边为截线，其余两边为被截线（常为平行线）；

角度解析：

8.        补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的．

9.        余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关．

10.    同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关．

11.    对顶角，邻补角既有数量关系，又有位置关系．

【知识调用—相关定理】

 1.        三角形的内角：

     三角形的内角和等于180°．

     直角三角形两锐角互余．

2.        三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角；

             三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和

            三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

3.        余角、补角、对顶角：

     同角（或等角）的余角相等；

     同角（或等角）的补角相等；对顶角相等．

4.        在证明的过程中，

     由平行想到同位角、内错角、同旁内角；

     由垂直想到直角三角形两锐角互余、垂直的定义、同角的余角相等；

     由外角想到三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．

5.        在证明过程中

（1）要证平行，想同位角，内错角，同旁内角．

（2）要求一个角的度数：

    ①由平行，要想同位角，内错角相等，同旁内角互补；；

    ②由直角考虑互余，由平角考虑互补，由对顶角考虑相等；

    ③若把一个角看作三角形的内角，考虑三角形的内角和等于180°；

    ④若把一个角看作三角形的外角，考虑三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 

6.        n边形内角和公式180×（n-2）：；任意多边形外角和公式：360°．

用分割为三角形的思想，均可以推导得到．

【知识调用---常见证明】

2020年4月07日

1.        三角形的内角和等于180°．

已知：如图，△ABC．

求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．

证明：如图，过点A作直线MN∥BC．

∵MN∥BC           （         已作          ）

∴∠B=∠1，∠C=∠2    （两直线平行，内错角相等）

∵∠BAC+∠1+∠2=180°（平角的定义）

∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）

这个让我记忆深刻的冬天

 （三角形的一个外角等于与它不相邻内角之和）已知：如图，∠2是△ABC的一个外角．求证：∠2=∠A+∠B．

证明：如图，

∵∠A+∠B+∠1=180°（三角形内角和180°）

∠1+∠2=180°     （平角的定义或邻补角的定义）

∴∠2=∠A+∠B    （等式的基本性质）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD

如图，∵CD⊥AB（已知）

      ∴∠ADC=∠CDB=90°（垂直的定义）

在Rt△ABC，Rt△ADC，Rt△BDC中

∴∠A+∠B=90°，(直角三角形两锐角互余)

∠A+∠ACD=90°，(直角三角形两锐角互余)

∠B+∠BCD=90°，(直角三角形两锐角互余)

∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD（同角的余角相等）

文章来源：数学小思维，作者：小申老师