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波动率——傻傻分不清  点击上方蓝色字体，关注我们     本文导读 文章对四类常见波动率——历史波动率、已实现波动率、预测波 动率、隐含波动率进行了概述，介绍了 VIX 指数的编制方法以及 用于甄别波动率突变点的ICSS算法 摘要 1.通过绘制滚动 30 日历史波动率时间序列图可以发现，波动率存在短期的波动聚集效应与长期的波动收敛效应。 2.基于已实现波动率，可以进行期权的Gamma交易。 3.ARCH与GARCH模型可以用于刻画金融时间序列波动率的长短期特性，但是，在使用相应模型时还需对序列进行诸如差分或滤波等操作。 4.近似法与非线性方程法是求解隐含波动率的主要方法，利用隐含波动率的微笑与偏斜特性可以构建Sticky Delta策略。 5.结合50ETF期权的交易与挂牌规则，对CBOE推出的 VIX指数编制方法进行了相应修改，得到50ETF的波动 率指数。 6.利用ICSS算法可以甄别金融时间序列的波动率突变点，为分段建模提供依据，并得到股市较大周期态势的科学划分。 一、 历史波动率 利用 B-S 公式计算期权价格时，事先需要获取标的资产的波动率，不同于无风险利率、执行价、剩余期限等其他参数，波动率并非即时可得的，往往需要利用某种方法进行估计得到。其中，利用历史波动率估算标的 资产的波动率的方法最为普遍。令????为t期的股票收盘价，????为t期的标的资产对数收益率，则前N期的历史波动率 ????计算如下： 图一 上证50指数30日历史波动率 数据来源：Wind （2005.1.4----2016.11.18） 由图一可以发现，上证 50 指数的 30 日历史波动率有两个明显特征： 1. 多数情况下，波动率处于均值（红线）上下20%（绿线）范围内。 2. 少数情况下，波动率会突破均值上下 20%的通道区域。在此时，较高的波动率会伴随着更高的波动率出现。 在学术界，上述两个现象分别被称为均值回复（mean reversion）与波动聚集（volatility clustering）。也不难可看出，当波动率高于均值 20%后，波动聚集现象持续时间较长，而当波动率低于均值 20%后，波动聚集现象持续时间较短。此外，上偏离的幅度也要高于下偏离的幅度。 这些现象也为波动率建模的后续改进留下了广阔的空间。 其他历史波动率的计算方法 在业界，前文所述的历史波动率计算被称为Close-Close 方法，即利用相邻交易日的收盘价的对数收益率序列计算波动率。这种方法对日间波动率有很好的刻画，但却缺少日内的价格波动信息。Parkinson(1980)、Garman,Klass(1980)、Rogers(1991)、Yang,Zhang(1970)等人先后提出了不同的历史波动率的计算方法，以求弥补Close-Close 方法在日内价格波动信息方面的揭示不足。 计算方法如下： 其中，???? 、 ???? 、 ??? 、 ????分别表示t期的开盘价、收盘价、最高价、最低价。 上述计算所得的波动率还需乘以年化因子 此外，假设对数收益率R服从均值为0，标准差为σ的 正态分布，则对R的绝对值求期望可得： 取期数为 30天，分别计算上述波动率，得到其相关性矩阵如下：
表一 上证50指数30日历史波动率相关系数矩阵 数据来源：Wind （2005.1.4----2016.11.18） 历史波动率的应用——波动率锥 基于时间记忆性的逻辑前提，历史波动率可以作为未来波动率的一种预测方法，但上述历史波动率的计算都是基于点估计（point forecast）的预测,而在实际应用过程中，我们可能更关注波动率的极端情形，即是否突破给定置信区间，这就需要对波动率的分布进行估计，一个简洁有效的方法就是计算波动率锥（volatility cone),即通过划分不同的到期时间周期分别计算标的资产的历史波动率，标识同周期波动率分位点，将同水平分位点进行连接。 利用波动率锥，我们可以更加准确地判断当前时间的各期历史波动率处于何种水平，从而为交易提供决策依据。图二为上证 50 指数的历史波动率锥，可以发现，短期历史波动率的分布较为发散，而长期历史波动率的分布较为集中，从短期到长期构成了锥的底部到顶部。
图二 上证50指数历史波动率锥 数据来源：Wind （2005.1.4----2016.11.18） 二、 已实现波动率 为了更好地刻画日内价格的波动，逼近指定交易日的瞬时波动率，就需要利用日内高频数据对瞬时波动率 进行近似。假定p(t)为t时刻股票对数价格，?时段上股 票对数收益率为r(??,?)。计算方法如下：
从图三中可以发现，相比历史波动率，已实现波动率的跳跃较大，连续性不如历史波动率。
图三 上证50指数已实现波动率（5分钟下） 数据来源：Wind （2005.1.4----2016.11.18） 已实现波动率的应用——Gamma 交易 Gamma交易是指通过买入（或卖出）期权，同时用标的资产进行 delta 对冲，以达到组合的市场中性目的。在用标的资产进行delta对冲的过程中，标的资产的价格变化会造成期权delta的不断变化，从而通过已实现波动率与期权隐含波动率的差异进行套利。 假设持有的一单位看涨期权c(delta 值为Δ，gamma值为 Γ，theta 值为θ),通过卖出?单位的标的资产S进行delta 对冲,则此时组合价值为： V=c??S 单位时间内组合的价值变动为： dV=dc-?ds 根据BS公式，对看涨期权c关于标的资产价格S与剩余期限t进行泰勒展开得：
三、 预测波动率 图一、图二和图三从不同角度对波动率进行了刻画，可以发现，三种刻画角度都反映了两个共同的特点，即短期的波动聚集效应与长期的波动收敛（均值回复）现象。在建立波动率模型用于预测未来波动率时，模型应该能够很好地刻画波动率的上述两个主要特征才算准确。 由于与交易决策相关的预测更偏重于短期，指数加权移动平滑模型成为较早的一类波动率预测模型，对于短期金融市场出现的波动聚集现象有着较为良好的刻画。 其模型如下:
但是，指数移动平滑模型只是针对短期的波动聚集特性建立的，无法刻画波动率长期收敛的特性，此外，指数平滑更侧重于对原始的历史波动率数据进行平滑处理，预测效力有限。为了更好地将波动率的长短期特征同时融入模型当中，Engel(1982)等人构建了自回归条件异方差模型（ARCH），ARCH模型可以同时刻画波动率的长短期特性，成为风险管理的重要工具。但是，利用ARCH 模型刻画金融时间序列波动率的变化需要较多的参数，Bollerslev(1986)提出的广义自回归条件异方差模型GARCH降低了参数的复杂度，从而被广泛地使用。 除了弥补指数平滑模型对时间序列波动率长期特性刻画的不足外，ARCH、GARCH等条件异方差模型的提出，还有一个主要原因，即一阶矩建模的不充分。 从某种角度理解，模型对数据拟合的好坏，在于是否有某些有用信息没有被模型捕捉到，即有效信息的泄露。如果模型是充分的未被模型解释的信息（即残差）应该完全是无用信息，即噪声。由于噪声是随机产生，因而相邻几项之间的噪声应是无关的，即相关性为 0。因此，我们可以通过检验模型的残差的相关性来检验模型拟合的充分性。 在条件异方差模型提出前，时间序列建模的焦点在于资产的对数收益率（一阶矩），自回归移动平均（ARMA）模型是较为常见的用于预测资产对数收益率的线性时间序列模型。研究发现，利用ARMA模型对资产对数收益率建模难以保证其拟合的充分性，残差会存在相关性，即ARCH效应，条件异方差模型通过对一阶矩建模所得到的残差进行再次建模，通过模型来刻画残差的相关性。当然，一阶矩的ARMA模型的参数与二阶矩的条件异方差模型的参数是联合估计得到的。ARMA(p,q)—GARCH(1,1)模型的形式如下：
R 中的 rugarch 包可以较为便捷地得到相关ARMA-GARCH 族模型的参数估计值。不过，需要说明的是，由于上证50指数日对数收益率序列不平稳，利用最大似然估计对2005年1月4日至2016年11月18日的上证 50 日对数收益率序列进行估计得到的自回归阶数为 7，较为复杂，实践运用不现实，因此，在利用ARMA-GARCH 族模型对时间序列进行建模时，还需对时间序列本身做一些滤波或差分等预处理操作，得到平稳序列后再进行建模。
四、 隐含波动率 通过计算历史波动率，利用BS公式可以得到期权的价格，但是，对于市场上已经存在报价的期权，我们无需再去为其定价，如何倒推计算期权价格隐含的波动率信息成为了新的关注点。 对于标的资产现价为S，执行价为X，无风险利率为r，红利率为 q，剩余期限为T，报价为c的欧式看涨期权，根据 BS公式，应满足：
常见的计算隐含波动率的方法有两类，即近似法与非线性方程法。 近似法是由 Brenner 等人于 1988 年提出，经由Chance(1996)、Corrado,Miler(1996)等人完善得到的一种计算期权隐含波动率的方法。
图四 牛顿法求解非线性方程零点 众所周知，期权价值由内在价值与时间价值决定，而时间价值受到波动率与剩余期限两方面的影响。图五为执行价为 100 的欧式看涨期权在固定剩余期限时期权价值与内在价值的变化，红色部分即为期权时间价值，随着标的资产价格的变化，当期权处于深度实值或深度虚值时，其时间价值非常小，因此对波动率不敏感。此外，如图六所示，无论内在价值如何，当接近行权日时，期权的Vega趋于0，此时期权价格同样对波动率不敏感。当出现上述两种情况时，只能通过提高牛顿法的求解精 度（即降低??0）来尽量得到一个较为准确的估计值。
图五 期权时间价值与内在价值关系
图六 期权不同内在价值下的 Vega 与剩余期限的关系 但是，由于 50ETF 期权最小报价单位为万分之一，所以通过提高求解精度来得到波动率不敏感期权的隐含波动率仍然有着局限性，不可避免会出现一些期权的隐含波动率无法求解的情况。通过实验发现，只有少数期权的隐含波动率无法求解得到，而对于可以求解得到隐含波动率的多数期权而言，在剩余期限相同的前提下，执行价格与隐含波动率的关系会呈现出微笑（smile）或者偏斜（skew），基于上述现象，可以采用插值获得对波动率不敏感期权的隐含波动率的一个近似值。 隐含波动率的应用 隐含波动率曲线 对于剩余期限相同，标的资产相同，执行价不同的一系列看涨（或看跌）期权，可以绘制执行价与各自隐含波动率的关系曲线来研究波动率的变化情况，从而发现套利机会。
图七 不同计算日期（CalDate）、不同到期日(Mature_Date) 50ETF看涨期权隐含波动率曲线 数据来源：Wind 可以发现，相同剩余期限、相同标的资产的一系列看涨期权呈现出明显的微笑（Smile）或偏斜（Skew）特性。根据上述特征，也产生了Sticky Delta交易策略，策略概述如下： 假设看涨期权??1,??2执行价分别为??1,??2(??2>??1),当前 gamma值为Γ1,Γ2,delta 值为Δ1,Δ2,theta 值为??1,??2,标的资产现价S，考虑如下组合价值：
如果 隐含波动率曲面 除了研究期权隐含波动率与执行价格的关系外，还可以研究期权隐含波动率与剩余期限的关系，即隐含波动率的期限结构，当然，我们也可以通过三维坐标系研究执行价格与剩余期限对期权隐含波动率的影响，由此构成的图像称为隐含波动率曲面。 对于50ETF期权，由于不同月份挂挡合约数以及合约执行价会出现差异，因此隐含波动率曲面的实践效果不大。 图八 50ETF看涨期权隐含波动率曲面 数据来源：Wind （2015年2月9日） 五、 无模型隐含波动率——VIX 指数 VIX 指数是由芝加哥期权交易所（CBOE）于 1993年推出的波动率指数，用于衡量标的未来30日的隐含波动率。在2003年，CBOE与高盛重新定义了VIX，使其成为一种衡量预期波动率的新指标。新的方法将VIX从抽象概念转化为能作为交易和对冲波动的实际标准。 VIX 计算方法： VIX 指数是由期权构成，通过选取符合要求的期权编制指数来反映市场未来的预期波动率。由于50ETF挂挡合约以及报价等与芝加哥期权交易所略有差别，我们需要对CBOE给出的VIX计算方法进行一定的修改以便得到50ETF的波动率指数，VIX计算公式如下：
F:期权筛选标准值 K0:第一个低于F的执行价 Ki:第i个虚值期权执行价, ?Ki:平均级距，?Ki=Ki+1?Ki?1 /2,对于最低执行价与 最高执行价，选取相邻执行价之差作为平均级距。 R:无风险利率 Q(Ki):买卖价差中点 步骤 1： 1.分别确定近月与次近月期权筛选标准F 分别选取当前日期存在的近月合约与次近月合约中看涨看跌期权报价价差绝对值最小的执行价Strike Price。
理论上，执行价的贴现值等于标的资产现价时的看涨看跌期权价差最小，因此 F 的本质是确定市场现存的合约中最接近平值的期权执行价。在市场出现持续的单边趋势时，有可能出现只有实值看涨期权与虚值看跌期权或相反的现象，这时需要人工填补执行价，并利用BS公式计算人工填补执行价对应的虚值期权报价。此外，还有可能出现虚值看涨期权与虚值看跌期权同时存在，但具体计算中得出的 F 值低于现存期权执行价的最小值或者高于现存期权执行价的最高值，这时需要置 F 为标的资产现价来进行后续计算。
资料来源： CBOE白皮书 2.分别确定近月与次近月??0 根据期权筛选标准F确定??0 3. 选取所有近月与次近月的虚值期权报价 Ki>K0时选取对于看涨期权 Ki<K0时选取看跌期权 Ki=K0时选取看涨期权与看跌期权的平均报价
资料来源： CBOE白皮书 4.分别计算近月与次近月的σ，记为??1,??2。 5.内插值得到VIX指数，相关计算方法如下：
其中， ????1,????2分别为近月合约与次近月合约的剩余时间（分钟计），??30,??365分别为 30 日与 365 日的总分钟数。 需要说明的是，如果指定日期在当月期权执行日之前，且距离当月期权执行日低于 7 个自然日，则选用次近月合约与次次近月合约为当前日的近月合约与次近月合约。此外，若当前日距离其所对应近月合约执行日超 过30个自然日，则VIX指数等于100×??1。此外，若指 定日期近月合约为当前月合约，而次近月合约不是下月合约（如2015年3月23日），由于远月合约交易不活跃， 故只选取当月合约计算VIX指数，即VIX=100×??1。
图九： 上交所ivix指数（蓝线） 自行编制vix指数（红线） 可以发现，根据上述规则编制得到的波动率指数（wvix）在绝对水平上与上交所公布的ivix指数有差异，但相对变化是一致的，两指数相关系数达到0.987。 六、 波动率的结构突变 序列平稳性是传统时间序列建模的理论前提，但现实中的金融时间序列多是不平稳的，这种不平稳主要是由于多个方差不同的平稳序列拼接而成，因此，虽然整体是不平稳的，但却存在阶段平稳的特征。
图十 分阶段平稳特征示例 如图十所示，序列由三段白噪声构成，白噪声的标准差分别为1、4、0.2。虽然序列由平稳序列构成，但序列整体却呈现出明显的非平稳性，这与前文提到的波动聚集与波动收敛类似，值得我们进一步探究，如何得到序列中方差的突变点，从而分段建模。识别序列波动率突变点的方法有很多，在此介绍迭代累积平方和算法（ICSS）。
图十一 不同突变点个数序列对比 研究证明， 布朗桥过程
利用 ICSS 算法得到的上证综指自 1997 年 1 月至2016 年 11 月 18 日的对数收益率序列去均值后的所有突变点如下表：
表二 上证综指突变点列表
图十一： 上证综指突变点连线 （红线） 可以发现，甄别出的突变点有助于我们对历史各阶段进行较为科学的划分并进一步探究相应时点的宏观经济与政策变化与股票市场的关系。表四整理了部分突变点日期前后发生的较为重要的宏观政策变化与市场变化信息。红色字体表示利好，绿色字体表示利空。
表三 部分突变点日期附近重要性事件整理 资料来源：大智慧、东方财富 |
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