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超模君精选——从一到无穷大 来自超级数学建模 启蒙无数大师的经典科普作品 推荐阅读《从一到无穷大》 数学通常被人们，尤其是数学家们尊为科学的“皇后”。而作为“皇后”，数学很少纡尊降贵，和其他学科搭上关系。 因此，当数学家希尔伯特受邀在某一届“纯粹数学和应用数学联合大会”上发表公开演讲，以期消除两派数学家之间的剑拔弩张时，他这样开头道： 我们常常被告知，纯粹数学和应用数学是相互对立的，这不是真相。其实两者并不对立。过去、现在、将来都不是对立的，也不可能产生对立。因为事实上，两者毫无相同之处。 尽管数学家倾向于保持纯粹，远离其他学科，但其他学科，尤其是物理学，却一直对数学持亲善友好的态度。 事实上，几乎每一个纯粹数学的分支，包括抽象群理论、不可逆代数、非欧几何学这些被视为最纯粹，也最难以致用的理论，也被用于解释物理世界的一个又一个性质了。 看起来虽然奇怪，但数论作为数学学科最纯粹的一部分，从某方面来说，可以被称为经验甚至是实验科学。事实上，与之相似的是，物理学定律的发现是基于想用物质对象做点什么的念头，相似，大多数数论定理的产生，也是基于想要用数字做点什么的想法。 和物理学一样，尽管某些数学定理已经在数学上得到证明，但仍有些还停留在纯粹经验阶段，至今仍激励着最优秀的数学家们绞尽脑汁。 以质数问题为例。质数，即不能表示为两个或两个以上较小整数的乘积。1、2、3、5、7、11、13、17....即是这样的质数。而12并不是质数，因为它可以表示为2x2x3。 质数的数目是无穷的吗？是否存在一个最大质数，只要大于它，任何数字都能表示为已有质数的乘积？ 欧几里得最早开始思考这个问题，并给出一个简单优雅的证明，证实没有所谓“最大质数”，而且质数数目是无穷的。 为了探讨这-问题，姑且假设质数数目是有限的，某个很大的数字用N表示，代表所知的最大质数。然后将所有已知质数相乘，得到乘积基础上再加1。用下面的数学式表示： (1x2x3x5x7x11x13x17......xN)+1 这个数字当然比假设的最大质数大得多。很显然，这个数字不能被包括N在内的任何一个质数整除，因为从它产生的数学式得知，拿任何质数去除它，都会剩下1。 因此，这个数要么本身是一个质数，要么能被比N大的整数除。这两点都和我们最初“N是最大质数”的假设矛盾。 这种证明方法被称为反证法或归谬法，是数学家们常用的证法之一。 一旦知道质数数目无穷大，我们就会追问自己是否有一种简单的连续列举质数的办法，使质数无一遗漏。古希腊哲学家兼数学家埃拉托色尼提出“筛分法”。 你只需要写下一列完整的自然数列，再删去2的倍数、3的倍数、5的倍数，以此类推.......  图九 要是能设计出一个公式，帮助我们自动快速地分辨出质数，事情就会简单得多。经过好几个世纪的努力，这公式还没有人找到。 1640年，法国大数学家费马认为自己设计出了一个只会生成质数的公式。 在他的公式2+1中，n逐次取值为自然1.23.3.4....... 用这一公式我们发现：  以上数字都是质数。但在费马公式面世一个世纪以后，德国数学家欧拉指出费马公式的第五次运算：2+1=4294967297并不是质数，而是6700417和641的乘积。因此欧拉证明了费马公式的错误。 另一个值得一提的公式是： n² - n+41 在这个公式中，n取值1、2、3 ........ n一直到取值40，都能得出质数。但很不幸，到了第41步，它就失灵了。 事实上： (41)² - 41+41=41² =41x41 这是一个平方数而非质数。还有一个公式： n²-79n+1601 直到n取值79，都能得出质数，但却在n取值80时不成立。 因此，用通用公式来计算出质数的方法仍未找到！ 另一个有趣的例子，是数论中的一个定理。它即未被证明过，也从未被推翻，这就是1742年提出的“哥德巴赫猜想”：认为任何偶数都是两个质数之和。 将其运用于些简单例子时， 很容易验证为真。比如： 12=7+5、24=17+7、32=29+3 尽管在这一研究方向上，数学家们付出了巨大的心血，他们从未成功给出这定理的正确性断语， 也未能找出反例。 直至1931年，俄国数学家史尼雷尔曼成功地向解决这难题迈出了关键性的第一步。 他设法证明每个偶数都是不多于300000个质数之和。 紧随其后，俄国数学家维诺格拉多夫将这命题缩短为 “4个质数之和”。但从“4”到“2”的最后关键两步却难上加难，没人能知道还需要几年或是几世纪才能证明或是推翻这一难题。
因此，要将这个公式自动推导，用于任意大的自然数，还有很长一段距离，更难保证说这个公式是否能够推导出来。 也可以再来看一个更简单容易的问题： 在给定数字范围内质数所占的比例能达到多少？在数字越来越大的同时，这一比例是保持恒定的吗？如果不是，那是上升还是下降呢？ 我们可以通过用经验查找表中质数的个数，来试图回答这一问题。通过这种办法，我们发现100以内有26个质数，1000以内有168个质数，1000000内有78498个质数，1000000000以内有50847478个质数。 将这些数字除以它们相应数字范围内的整数个数，我们就得到： 随着给定自然数范围的扩大，质数的相对数目逐渐减少，但质数并非有限。 是否有任何简单的方法，能用数学形式表示：质数比例随着数字范围扩大而递减的现象呢？ 有的，而且这一质数分布的规律代表了整个数学科学最非凡的成就。 它简单地指出：从1到任何更大的自然数N的范围内，质数所含比例大致由N的自然对数的倒数表示。N取值越大，这条规律就越精确。 和数论科学中许多其他定理一样，上面提出的质数定理也是最早凭经验提出，但很长一段时间以来，从未经过严格数学确证。 直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家普桑成功地将其证明。因其方法繁琐复杂，这里就不用赘述了。 关于整数的讨论很难跳开著名的费马大定理，虽然它和我们着重讨论的质数联系不大。 但这一问题还要回溯到古埃及时期。 那时的每个熟练木匠都知道三边长比例3：4：5的三角形中必有一个直角 现在我们称之为埃及三角形，因为事实古埃及人就是用它来作为木工矩尺的。 在公元3世纪，古希腊亚历山大的数学家丢番图开始思考：是否只有3和4是唯一一组满足两整数平方和等于另一个整数的平方这一公式的数呢？ 他成功证明了还有其他的3组整数满足这一条件(事实上这样的组数是无穷多)，并给出了求值规则。这一类三个边都是整数的直角三角形被称为毕达哥拉斯三角形。 构建毕达哥拉斯三角形的问题可以用简单代数方程式表示如下，其中x、y、z必须都是整数： x²+y²=z² 1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的《算术学)的法文译本，其中就提及了毕达哥拉斯三角形。费马阅读的时候，在边缘空白处写下简短批注，注明数学式x²+y²=z²有无穷多组整数解，而 x^+y^=z^ 中，当n大于2时，无论如何都没有整数解。他还加注道：“我已经发现了一个相当棒的证法，可惜空白太少，难以展开写。” 费马死后，后人从他的书房里找到了丢番图的这本书，也发现了写在空白处的笔记。那是三个世纪前的事情，从那以后，世界各国最卓越的数学家们都致力于重新证明费马笔记所想出的公式，但至今无人成功。 诚然，努力并非一无所获， “理想数论”这一数学分支在求证费马公式的过程中被创立出来。 欧拉证明了方程： x³+y³=z³ 和 x⁴+y⁴=z⁴ 不可能存在整数解。狄利克雷同样证明了x⁵+y⁵=z⁵不可能存在整数解。 通过许多数学家的共同努力，我们目前已能够证明，n小于269时，费马公式都没有整数解。尽管如此，对质数n取值任何数都成立的普遍证明，还从未有人证出。
人们越来越倾向于认为，要么费马并未成功证明过，要么他在证明过程中出现失误。当时为了求证费马猜想，曾有人悬赏10万德国马克，赏金令人趋之著骛，但那些逐利的外行数学家们最终都无功而返。 当然，费马猜想仍有可能是错误的。只要找到两个整数的某次幂之和等于另一个整数的同次幂就能证伪。可要在自然数的269次幂以上去找，这个工作并非易事。
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