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第1节 怎样学好行程问题？ ——从杯赛必考知识点说起 一、从99.26%到100%！ 在各类数学竞赛试卷中，行程问题的考察比例达到了99.26%，重要性可想而知。而在历届某杯赛邀请赛中，无论是初赛还是决赛，对于行程问题的考察比例为100%！ 很显然，无论是杯赛的初赛还是决赛，行程问题为必考点！并且在杯赛前三届决赛中行程问题都作为压轴题出现！ 二、为什么小学生行程问题普遍学不好？ 1、 行程问题的题型多，综合变化多。 行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综合起来考察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船中的相遇追及问题要注意跟水速无关等等。 2、 行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。 奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数线段问题，学生掌握了方法，依葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理解了，就能容易做出来。行程问题难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运动，整个过程来回跑。学生对文字题描述的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的学生会用手指，用橡皮模拟，转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别说找出解题所需要的数量关系了。 三、行程问题“九大题型”与“五大方法”。 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。 1、九大题型： ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。 2、五大方法： ⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！ ⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。 ⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 四、怎样才能学好行程问题？ 因为行程问题的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程问题一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。 学习奥数有四种境界： 第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。 第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。 第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。 其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到），能够达到第三种境界的学生考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则要求学生达到第四种境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学习行程的四个阶段，或者说是好的方法。 建议一：不论是什么问题，在学习之前有必要对于要学的东西有个纵向的了解，要系统地梳理一遍，这样有系统，有方向，学习的时候也不会迷茫。一般这个步骤需要家长和老师一起帮助孩子完成。这样把大的目标分为不同的小的目标，各个击破，孩子也会有信心。同时发现问题时，也可以有针对性的进行解决。 建议二：需要强调一点，就是在学习过程中不能捡芝麻丢西瓜，简言之就是要在每学一个知识的时候，都要对学过的知识进行练习。一定要重视总结，把行程问题进行分类比较，这样孩子对于行程问题的理解会上升一个新的高度。 建议三：在学习过程中，可以积累孩子的错题，以便日后观察孩子在此部分知识点学习过程中的薄弱环节，这样我们以后的计划会更有针对性。在制定计划时慢慢的达到量身定做的效果。 第2节 行程问题分析总结 一、基本行程问题  行程问题的三个基本量是距离、速度、时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种： （1）相遇问题； （2）相离问题； （3）追及问题。 行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况： （1）相向而行： 相遇时间=距离÷速度和 （2）相背而行： 相背距离=速度和×时间 （3）同向而行： 追及时间=追及距离÷速度差 追及距离=速度差×时间 解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 二、相遇问题 行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，（ 涉及两个或两个以上物体运动的问题）指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。  数量关系： 路程 ÷ 速度和 ＝ 相遇时间 路程 ÷ 相遇时间 ＝ 速度和 速度和 × 相遇时间 ＝ 路程 【温馨提示】 （1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻所处的状态； （2）在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点(非常重要)； （3）无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。 【解题秘诀】 （1）必须弄清物体运动的具体情况：运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。 （2）要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。 三、追及问题  追及问题也是行程问题中的一种情况。这类应用题的特点是： ①两个物体同时同一方向运动； ②出发的地点不同（或从同一地点不同时出发，向同一方向运动）； 追及路程=路程差=两个物体之间相距的路程 追及速度=速度差=快的速度-慢的速度 快的物体追上慢的物体所用的时间为追及时间 ③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。 相关的关系式： 追及路程=速度差×追及时间 速度差=追及路程÷追及时间 追及时间=追及路程÷速度差 四、相遇追及综合   1.公式及公式变形 基本行程公式 ： S（路程）=V（速度）×T（时间） 相遇下的变形： 路程和=速度和×相遇时间 追及下的变形： 路程差=速度差×追及时间 2.单位的统一和判断 “米/秒”可以写成“m/s”但不要写成“m/秒” 利用公式可以判断单位的写法：v=s÷t；所以速度的单位就是 米÷秒，即米/秒 3.关键词 每到行程问题，不论怎么出题，总会提到以下几个情况：同时，同地，同向，相向，背向 这几个就是关键词了！ 是否同时同地，如果不是同时，相差几小时，谁先谁后？如果不是同地，相差多少千米，位置如何？ 这是每个行程问题的初始情形，基本条件，必须优先读出来。 同向，相向（背向）分别是判断追及和相遇的关键信息。千万不要盲目的看到“几小时后两人相遇”就认定这是相遇问题！ 4.数形结合 顾名思义：数字与图形相结合的思想，因此，行程问题，一定离不开画图。而图的画法，将会在之后的多人行程中有更加明显的体现。 5.一题多解 在最开始接触相遇和追及的时候，我们就会发现，一旦出现“问：几小时后，相距XX千米”这样的句子，答案总是会有两种可能。 这就一定要求同学们对题目考虑要足够严密；换言之，同学们一定要注意行程问题当中的多解情况。 那么，除了上面的多解情况，还会有哪些呢？例如：在环形跑道上不说明方向的相遇和追及问题。 6.方程思想 方程，我们已经不再陌生，但是，仍然有些抗拒。不过没关系，熟能生巧。这个是我们必须攻克的难关。为什么呢？因为到了高年级，我们逐渐发现，学会了方程，就相当于学会了应用题。因为几乎所有的应用题，都可以通过列方程求解轻松攻克。行程这个难题，也不例外。所以，我们要从现在开始，尝试用方程的方法来解决一些看上去“很难”的行程问题。 多人相遇和追及问题 多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“S（路程）=V（速度）×T（时间）”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： 路程和=速度和×相遇时间； 路程差=速度差×追及时间； 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。 多次相遇和追及问题 一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕 “ 距离=速度×时间” 这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。 二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。 2. 同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N次相遇，共走2N个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键 路程差 三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 五、分类详解 【1】火车行程问题 有关火车过桥、火车过隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。如果有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。 解答火车行程问题可记住以下几点： 1、火车过桥（或隧道）所用的时间=[桥（隧道长）＋火车车长]÷火车的速度； 2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和； 3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。 火车行程及过桥问题： （1）确定两列火车追及路程分三种情况： ①车头遇上车尾：两列火车间的距离 ②车头追上车头：两列火车间距离+被追列车长 ③车尾追上车尾：两列火车间距离+追及列车车长 （2）确定两列火车相遇路程分三种情况： ①车头遇上车头：两列火车间距离 ②车头遇到车尾：两列火车间距离+其中一列火车长 ③车尾遇见车尾：两列火车间距离+两列火车长 （3）火车过桥行驶的总路程是火车车身长与桥长之和，数量关系： （列车长+桥长）÷列车速度=通过时间， （桥长+车长）÷速度=时间， （桥长+车长）÷时间=速度， 速度×时间=桥长+车长 【2】流水行程问题  流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 流水问题有如下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速（1） 逆水速度=船速-水速（2） 这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。 公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。 公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得： 水速=顺水速度-船速（3） 船速=顺水速度-水速（4） 由公式（2）可得： 水速=船速-逆水速度（5） 船速=逆水速度+水速（6） 这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 （7） 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 （8） 【3】扶梯问题 扶梯问题类似流水行船问题，只不过扶梯问题中的距离一般表示为扶梯的级数，速度也是用级数/时间来表示，其实质是完全一样的。 基本公式： 走过的总级数= 行走速度×行走时间 同向：走过的总级数=静止时能看到的级数 - 扶梯运动缩进的级数 逆向：走过的总级数=静止时能看到的级数 + 扶梯运动伸长的级数 学习要领 完全搞懂上面上个公式，知道人走过的级数跟扶梯的运动与否和速度无关，就是人的速度乘以行走的时间； 搞清楚人走过的级数等于扶梯静止时的级数加上因为扶梯运动而伸长或缩短的级数，而扶梯伸长或缩短的级数等于扶梯速度乘以行走时间； 【4】环形跑道 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环形跑道： 同相向而行的等量关系： 乙程－甲程＝跑道长 背向而行的等量关系： 乙程＋甲程＝跑道长 环线型 同一出发点/直径两端 同向：路程差\tnS\tnS+0.5S 相对(反向)：路程和\tnS\tnS-0.5S 平均速度 平均速度=总路程÷总时间 总路程=平均速度×总时间 总时间=总路程÷平均速度 【5】发车间隔 间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。 1. 在班车里——即柳卡问题 不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。柳卡图，也称为折线图，可以很好的解决复杂的行程问题。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。 其中相遇”两字广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇，因此分为两种情况，一种叫做迎面相遇（即我们平时说的相遇问题），一种叫做追及相遇（即我们平时说的追及问题），一般题目说的相遇，我们默认指的是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点算做一次相遇，那么这时两种情况都要算。 【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发，当他们跑12分钟，共相遇了多少次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇） 如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 2. 在班车外——联立3个基本公式好使 （1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 （2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 （3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 综上总结发车问题可以总结为如下技巧 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合 S＝V×T，结合植树问题数数。 （3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡图数交叉点解决。 下面我们来看用柳卡图来解决的两道问题。 【例2】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发，当他们跑12分钟，共相遇了多少次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。  【分析】 多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示  在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。 所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)×5=20（次） 【例3】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 首先，甲跑一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷0.6=50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：  从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇5×4=20（次） 备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇。 【6】变速问题 解决行程问题中的变速问题，无论是通过列方程还是算式法来解，最主要的是要找到题中的等量关系式。例如这道题，要求出答案，就得先求出预定的时间，再求出实际所用的时间，最后根据量率对应求出72千米所对应的分率就可以了。 【例4】  【分析】  解： 【例5】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。 【分析与解】 本题的难点在于上山与下山的速度不同，如果能在不改变题意的前提下，变成上山与下山的速度相同，那么问题就可能变得容易些。 如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中“甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰”应变为“甲下山路走了1/2时，乙下山路走了1/4”。因为甲到山顶时比乙多走了400米，所以甲下山路走了1/2时，应比乙多走 400×(1＋ 1/2)＝600(米) 而这段路是下山路的(1/2 － 1/4)，所以从山脚到山顶的距离是 第3节 分类专项练习 【专项练习】 1. 从花城到太阳城的公路长12公里。在该路的2千米处有个铁道路口，是每关闭3分钟又开放3分钟的。还有在第4千米及第6千米有交通灯，每亮2分钟红灯后就亮3分钟绿灯。小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯。已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要 ( )分钟。 2. 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B)。两人同时从A点出发，在 AB之间不停地往返奔跑。已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？ 3. 甲、乙两名运动员分别从 A、B同时出发，在AB 间练习往返跑；甲有一只小狗，与甲同时从A出发，它总是朝甲所在的地方跑去。当乙第5次和这只小狗相遇后3秒，甲和乙又一次相遇。若甲、乙、小狗每秒分别跑6米、5米、2米，且AB之间的距离大于20米，则AB间的距离是多少？(本题中，只要在同一地点同时出现就视为相遇) 4. 小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进。已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发。他们三人恰在中途某地相遇。若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟到达？ 5. A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼。乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？ |
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