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基本行程问题 行程问题的三个基本量是路程、速度和时间。 （1）相遇问题分类： （1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和 （2）相背而行：相背距离=速度和×时间。 （3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离÷速度差 在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 相遇问题 行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，（ 涉及两个或两个以上物体运动的问题）指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。 数量关系：路程 ÷ 速度和 ＝ 相遇时间 路程 ÷ 相遇时间 ＝ 速度和 速度和 × 相遇时间 ＝ 路程 解题秘诀： （1）必须弄清物体运动的具体情况，运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。 （2）要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。 追及问题 追及问题也是行程问题中的一种情况。这类应用题的特点是： ①两个物体同时同一方向运动； ②出发的地点不同（或从同一地点不同时出发，向同一方向运动）； 追及路程=路程差=两个物体之间相距的路程 追及速度=速度差=快的速度-慢的速度 慢的物体追上快的物体的所用的时间为追及时间 ③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。 相关的关系式： 追及路程=速度差×追及时间 速度差=追及路程÷追及时间 追及时间=追及路程÷速度差 相遇追及综合 1.公式及公式变形 万年不变的基本行程公式 ：S（路程）=V（速度）×T（时间） 相遇下的变形：路程和=速度和×相遇时间 追及下的变形：路程差=速度差×追及时间 2.单位的统一和判断 “米/秒”可以写成“m/s”但不要写成“m/秒” 利用公式可以判断单位的写法：v=s÷t；所以速度的单位就是 米÷秒， 同向，相向（背向）分别是判断追及和相遇的关键信息。千万不要盲目的看到“几小时后两人相遇”就认定这是相遇问题！ 4.数形结合 顾名思义：数字与图形相结合的思想，因此，行程问题，一定离不开画图。而图的画法，将会在之后的多人行程中有更加明显的体现。 5.一题多解 在最开始接触相遇和追及的时候，我们就会发现，一旦出现“问：几小时后，相距XX千米”这样的句子，答案总是会有两种可能。 这就一定要求同学们对题目考虑要足够严密；换言之，同学们一定要注意行程问题当中的多解情况。 那么，除了上面的多解情况，还会有哪些呢？例如：在环形跑道上不说明方向的相遇和追及问题。 6.方程思想 方程，我们已经不再陌生，但是，仍然有些抗拒。不过没关系，熟能生巧。这个是我们必须攻克的难关。为什么呢？因为到了高年级，我们逐渐发现，学会了方程，就相当于学会了应用题。因为几乎所有的应用题，都可以通过列方程求解轻松攻克。行程这个难题，也不例外。所以，我们要从现在开始，尝试用方程的方法来解决一些看上去“很难”的行程问题。 多人相遇和追及问题 多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“ ”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。 多次相遇和追及问题 一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“  ”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。 二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N次相遇，共走2N-1个全程； 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。 2. 同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N次相遇，共走2N个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键 路程差 三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 火车行程问题 有关火车过桥、火车过隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。如果有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。 解答火车行程问题可记住以下几点： 1、火车过桥（或隧道）所用的时间=[桥（隧道长）＋火车车长]÷火车的速度； 2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和； 3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。 火车行程及过桥问题： （1）确定两列火车追及路程分三种情况： ①车头遇上车尾：两列火车间的距离 ②车头追上车头：两列火车间距离+被追列车长 ③车尾追上车尾：两列火车间距离+追及列车车长 （2）确定两列火车相遇路程分三种情况： ①车头遇上车头：两列火车间距离 ②车头遇到车尾：两列火车间距离+其中一列火车长 ③车尾遇见车尾：两列火车间距离+两列火车长 （3）火车过桥行驶的总路程是火车车身长与桥长之和，数量关系： （列车长+桥长）÷列车速度=通过时间， （桥长+车长）÷速度=时间， （桥长+车长）÷时间=速度， 速度×时间=桥长+车长 流水行程问题 流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 流水问题有如下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速（1） 逆水速度=船速-水速（2） 这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。 公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。 公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得： 水速=顺水速度-船速（3） 船速=顺水速度-水速（4） 由公式（2）可得： 水速=船速-逆水速度（5） 船速=逆水速度+水速（6） 这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 （7） 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 （8） 扶梯问题 扶梯问题类似流水行船问题，只不过扶梯问题中的距离一般表示为扶梯的级数，速度也是用级数/时间来表示，其实质是完全一样的。 基本公式： 走过的总级数= 行走速度×行走时间 同向：走过的总级数=静止时能看到的级数 - 扶梯运动缩进的级数 逆向：走过的总级数=静止时能看到的级数 + 扶梯运动伸长的级数 学习要领 完全搞懂上面上个公式，知道人走过的级数跟扶梯的运动与否和速度无关，就是人的速度乘以行走的时间； 搞清楚人走过的级数等于扶梯静止时的级数加上因为扶梯运动而伸长或缩短的级数，而扶梯伸长或缩短的级数等于扶梯速度乘以行走时间； 环形跑道 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环形跑道： 同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长, 背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长。 环线型 同一出发点 直径两端 同向：路程差 nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和 nS nS-0.5S 平均速度 平均速度=总路程÷总时间 总路程=平均速度×总时间 总时间=总路程÷平均速度 发车间隔 间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。 在班车里——即柳卡问题 不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 在班车外——联立3个基本公式好使 （1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 （2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 （3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 综上总结发车问题可以总结为如下技巧 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡 |
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