今天,数学世界给大家分享一道初三数学综合题,这道题难度并不大,解决此题关键是正确理解题意,并要灵活运用相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,勾股定理的应用,以及注意对问题进行分类。下面,我们就一起来看这道例题吧! 例题:(初三数学题)如图,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°。若动点P从O点出发,沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发,沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动,设移动的时间为t秒。 (1)求直线AC的解析式; (2)当t为何值时,△OAC与△PAQ相似? 分析:第(1)问要求直线AC的解析式,思路很简单,就是要求出点A和点C的坐标即可。点A的坐标容易得出,求点C的坐标,需要过点C作CE⊥OA,垂足为E,在Rt△OCA中,根据勾股定理可以求出AC。再利用等积法求得CE的长,即C点的纵坐标,进一步可以求得C点的横坐标,然后利用两点式求得直线的解析式。 第(2)问要求当t为何值时,△OAC与△PAQ相似,由于两个三角形相似可以分几种情况,所以要结合已知条件分情况进行讨论,再根据对应线段成比例即可求得t的值。此题很容易出错的地方就是只给出一种结果,所以一定要注意分类讨论。 解:(1)过点C作CE⊥OA,垂足为E, ∵OA=5,OC=AB=4,∠OCA=90°, ∴在Rt△OCA中,AC^2= OA^2-OC^2,AC=3, 在Rt△OCA中利用等积法, 得5×CE=3×4, ∴CE=12/5, 在Rt△OCE中,OE^2= 4^2-(12/5)^2,OE=16/5, ∴C(16/5,12/5),A(5,0), 设直线的解析式为y=kx+b, 将C(16/5,12/5),A(5,0)代入,(过程略) 可求得直线的解析式为y=-4/3x+20/3。 (2)∵OA=5,动点P以每秒2个单位的速度移动,5÷2=2.5秒 ∴当0≤t≤2.5时,P在线段OA上, 此时∠PAQ>90°,△OAC与△PAQ不可能相似。 当t>2.5时,P在OA的延长线上, ①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OCA, ∴AQ/OA=AP/OC, 即t/5=(2t-5)/4, 解得t=25/6,(满足t>2.5) ②若∠AQP=90°,则△APQ∽△OAC, ∴AQ/OC=AP/OA, 即t/4=(2t-5)/5, 解得t=20/3,(满足t>2.5) 综上可知,当t=25/6或20/3时,△OAC与△APQ相似。 由于时间仓促,若文中出现一些小错误,还请大家谅解!郑重声明:这里全部文章均由猫哥原创,“数学世界”专注小学和初中数学知识分享。若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法,欢迎留言参与讨论。 |
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