2020高考100问之028： 复合函数单调性怎么求？

复合函数单调性一般是换元分解成两个基本初等函数来解决，也可以求导解决.

比如求函数y=sin(2x+π/3)的增区间：

这个函数是一次函数和正弦函数的复合，设t=2x+π/3，则y=sint，因为t是关于x的增函数，那么只需要t在y=sint的增区间里解出来的x的区间，就是原函数的增区间；t在y=sint的减区间里解出来的x的区间，就是原函数的减区间.这也是大家熟悉的“同增异减”.

也可以求导，y'=2cos(2x+π/3)，通过导数的正负判断原函数的增减.

不过一定要注意复合函数的求导法则：函数y=f(g(x))的导数为f'(g(x))g'(x)，这个法则只对理科作要求，而且g(x)一般是一次的，当然也有例外.

看看最近学生做的一道题：

判断函数f(x)=(x²-a)²-3|x²-1|的极小值点的个数.

这道题可以换元做；也可以求导做，求导的时候可以将原函数打开化简，不去利用复合函数的求导法则，毕竟复合函数求导法则容易犯错.

原函数是偶函数，所以只需要研究x>0时的单调性:

设t=x²，

当x≥1时，t ≥1，且t是关于x的增函数，则y= t²-(2a+3)t +a²+3，y关于t的函数的单调性取决于1和(2a+3)/2的大小，即a和-1/2的大小关系.

当0<x<1时，0<t<1，且t是关于x的增函数，则y= t²+(3-2a)t +a²-3，y关于t的函数的单调性取决于(2a-3)/2与0以及1的大小，即a和3/2以及5/2的大小关系.

(1)当a≤-1/2时，原函数在(0,1),(1,+∞）为增函数，所以在R上只有一个极小值；

(2)当-1/2<a≤3/2时，原函数在(0,1)上为增函数,在(1,+∞）上先减后增，所以在R上有三个极小值；

(3)当3/2<a<5/2时，原函数在(0,1)上先减后增,在(1,+∞）上先减后增，所以在R上有四个极小值；

(4)当a≥5/2时，原函数在(0,1)上为减函数,在(1,+∞）上先减后增，所以在R上有两个极小值.

如果求导做的话，当x≥1时，f'(x)=4x(x²-a)-6x=2x(2x²-2a-3)，只需要看-2a-1与0的关系，即a和-1/2的大小关系.

当0<x<1时，f'(x)=4x(x²-a)+6x=2x(2x²-2a+3)，只需要看-2a+3以及-2a+5与0的关系，即a和3/2以及5/2的大小关系.

换元和求导最后都会走到同一条路上，如果让我推荐，还是和求值域一样，基本初等函数能解决的，就没必要求导，求导永远是没办法的办法.