2020年中考数学二次函数压轴题之最值问题

4．如图，在平面直角坐标系中，点 C 是 y 轴正半轴上的一个动点，抛物线 y＝ax2﹣5ax+4a（a 是常数，且 a＞0）过点 C，与 x 轴交于点 A、B，点 A 在点 B 的左边．连接 AC，以 AC 为边作等边三角形ACD，点 D 与点 O 在直线 AC 两侧．

（1）求点 A，B 的坐标；

（2）当 CD∥x 轴时，求抛物线的函数表达式；

（3）连接 BD，当 BD 最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．

【解析】

解：

（1）y＝ax2﹣5ax+4a，

令 y＝0，则 x＝1 或 4，

故点 A、B 的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；

（2）当 CD∥x 轴时，则 ∠CAO＝60°，

则 OC＝OAtan60 = √3，故点 C（0，√3），

即 √3＝4a，解得：a＝√3/4，

故抛物线的表达式为：y＝√3/4x2﹣5√3/4x + √3；

（3）如图，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D 作 x 轴的垂线于点 H，过点 E 作 EF∥x 轴交 y 轴于点F 交 DH 于点 G，

∵ △ACD 为等边三角形，则点 E 为 AC 的中点，

则点 E（1/2，2a），AE＝CE＝√3/3 ED，

∵ ∠CEF + ∠FCE＝90°，∠CEF + ∠DEG＝90°，

∴ ∠DEG＝∠ECF，

∴ △CFE∽△EGD，

∴ CF/EG = CE/ED = EF/DG = √3/3，其中 EF＝1/2，CF＝2a，

解得：GE = 2√3 a , DG = √3/2，

故点 D（ 1/2 + 2√3 a，2a + √3/2 ），

故当 a＝ 3√3/8 时，BD 最小，

故抛物线的表达式为：

【分析】

（1）A、B 两点的坐标就是抛物线与 x 轴的交点的坐标，x 轴上点的纵坐标是 0 ，令 y = 0 , 解关于 x 的一元二次方程很容易求出，但计算一定要准确确保不丢分。

（2）关键是求出 a，抛物线的函数表达式也就确定了。

在等边三角形中每个角都是 60°，结合已知条件 CD∥x，就要利用平行线的性质（内错角、同位角、同旁内角），就会发现 “一线三等角”，∠OAC = ∠CAD = ∠DAB。

点 C（0，4a），则 OC = 4a，OA = 1，在直角三角形 COA 中，通过解直角三角形就可以求出 a，从而就可以确定抛物线的表达式了。

（3）点 C 是一个动点，从而点 D 也是一个动点，而点 B 是一个定点。遇见此类问题，如何求 BD 之间的最短距离？用几何的方法很难求解，就要想到平面内两点之间的距离公式。

问题也就转化为二次函数的最值问题了，关键是如何把点 D 的坐标表示出来，这是一个难点。

在等边三角形中一定要牢记 “三线合一” 这条非常重要的性质，本题中点 D 的坐标是通过线段的长度转化过来的，求线段的长度常用方法：①找相似三角形；②解直角三角形。

找不见，没有直角三角形就要想到 “作辅助线”。

常用的结论也应该熟记，如 “ 经过三角形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰”。

点 E 是线段 AC 的中点，从而可知点 F 是线段 CO 的中点，点 E 的坐标就是 （1/2 OA，1/2 OC） 。

结合解题过程及以上知识点分析，本题考的就是对知识点的综合应用！