最全手拉手模型

   手拉手是数学中最常见的一种几何图形。属于共端点几何模型的一种类别。在平时的考试之中，经常会遇到这样一类考题。 

它是我们研究几何图形的基础。当然，对于手拉手模型结论的研究，我们这一节也会提供一些手段。比如旋转、全等都是我们的处理手段。

  当然，说了那么多，我们来说下，什么是手拉手模型，我们看下什么样的图形叫做手拉手模型。

手拉手模型主要抓三个条件：

1：共顶点

2：等腰（等边，正方形等等，换句话讲共顶点的两边相等）

3：顶角相等

手拉手模型主要分为：“等边△+等边△”和“等腰△+等腰△”

类型一：等边△+等边△

前题条件：图中，B,C,D三点共线，有等边△ABC和等边△CDE.

（1）图中，B,C,D三点共线，有等边△ABC和等边△CDE.

我们可以得到以下一些结论：

 结论一：△ACD≌△BCE

（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N：

结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD

（3）连接MN：

 结论三：△MNC是等边三角形+MN//BC

（4）记AD、BE交点为P，连接PC：

因为△ACD≌△BCE

所以过点C作CG⊥BE,CH⊥AD ∴CG与CH分别是BE与AD边上的高

∵BE=AD  ∴CG=CH  所以易知Rt△PGC≌Rt△PCH (HL)∴∠1=∠2

结论四：PC平分∠BPD

（5）∵∠CAD+∠CDA=∠ACB=60°

∴∠DBE+∠CDA=60°  ∴∠BPD=120°   由（4）可知

∠BPC=∠CPD=60°    ∴∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

（6）连接AE：

结论六：P点是△ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）

（7）因为∠APB=∠ACB=60°

所以可以得到:△AMP∽△BMC

同理可以得到以下几组相似三角形：

△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND

当然，我们也可以得到A、B、C、P四点共圆/P、C、D、E四点共圆

结论七：△AMP∽△BMC，

△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND

+A、B、C、P四点共圆和P、C、D、E四点共圆

(8) 如图，在PD上截取PF=PC, 由此可以知道△PCF为等边三角形    

∴易证：△PCE≌△FCD  

 ∴有PD=CP+PE

同理可得:BP=AP+PC

结论八：PD=CP+PE，BP=AP+PC

注意：当然前面都是在B、C、D共线的时候得出的结论。当B、C、D不共线的时候，只有MN//BC不成立

类型二：等腰△+等腰△ 

前题条件：等腰△ABC和等腰△CDE,点C是公共顶点，∠ACB=∠DCE=α，如图所示：

图（1），（2）这种位置关系可以的到△ADC≌△CBE,AD=BE

图（3）除了可以得到全等结论外，还可以得到：

（1）CH平分∠AHE

（2）A、B、H、C 四点共圆

（3）A、C、H、D、E四点共圆

图（1），（2）要得到类似结论需要延长AD,CE

现在讨论下α=90°的情况.

即，“等腰Rt△+等腰Rt△”的情况：

这里面有许多有趣的结论.

在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEC,如图，拍摄了几张静态的照片.

由图(1),(2),(3)可以得到: △ADC≌△BCE,以及AD与BE垂直，或它们延长线垂直.

图(3)可以得到几组相似三角形。其实和前面的结论一样。这里不多做赘述。

当然，上面的等腰直角三角形除了上面的结论之外，这里再补充一些结论。

如图，连接AE,BD。由于AD⊥BE，所以四边形ABDE为锤美四边形。

结论：(1)锤美四边形结论：AB平方+DE平方=BD平方+AE平方  

（2）AF=BF+CF;EF=DF+CF

锤美四边形的结论就不证明了，主要是利用勾股定理进行证明，网上有很多。

 

 

分别取线段AE,BD的中点为点M,N

结论：（1）AE=2CN;BD=2MC;

（1） △ACE与△BCD的面积相等；

（2） MC⊥BD, CN⊥AE

证明：如图延长，CN于H,使得CN=NH

∴容易知道：AC=DH,CD=CE

∵∠ACE+∠BCD=180°     ∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°   ∠CBD=∠BDH ,

∴∠CBD+∠CDB=∠BDH+∠CDB=∠CDH     ∴∠CDH+∠BCD=180°

∴∠ACE=∠CDH       ∴△ACE≌△CDH      ∴CH=2CN=AE

同样的方法可以证明：△AGC≌△BCD       ∴BD=2MC;

所以也容易知道△ACE与△BCD面积相等.

如图，延长MC与BD相交于点P,   易知∠ACM+∠BCP=90°,

∵∠ACM=∠CBP   ∴∠CBP+∠BCP=90°   ∴CP⊥BD  ∴即MC⊥BD

同理可得：CN⊥AE

好啦，今天的分享就到这里。