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1.构图：两个顶角互补且共顶角顶点重合的等腰三角形形成的图形 2.特殊情况：两个等腰直角三角形共顶角顶点 结论：①左拉右，右拉左形成两条经典线段 ②取任意一条经典线段的中点与顶角相连，形成的中线与另一条经典线段垂直且等于其一半 证明方法： ①知中点证垂直： 倍长中线》找全等》导夹角：利用中线倍长模型中的平行产生的同旁内角互补》证垂直：利用全等中的一对对应角 ②知垂直证中点：作平行或利用两次三垂直 练习： 1．如图1，以△ABC的边AB，AC为腰向外作等腰直角三角形ABE和ACD，且AB＝AE，AC＝AD，M为BC边的中点，MA的延长线交DE于N （1）当∠BAC＝∠BAE＝∠CAD＝90°时，线段AM线段DE的关系是 ． （2）如图2，当∠BAC≠90°时，探究线段AM与线段DE的关系． （3）如图3，当∠BAC≠90°时，∠BAE＝α°，∠CAD＝（180﹣α）°，则线段DE与AM的大小关系怎样？其夹角∠DNM是多少？请给出证明． 2．某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程： （1）在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是 （填序号即可）①AF＝1/2BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、 （2）在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程 （3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由． 参考答案： 1.【解答】解：（1）DE＝2AM且AM⊥DE．理由如下： ∵AB＝AE，∠BAC＝∠BAE＝∠CAD＝90°，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴BC＝ED，∠ABM＝∠AEN， ∵M为BC边的中点， ∴BC＝2AM， ∴DE＝2AM； ∴AM＝BM＝CM， ∴∠ABM＝∠BAM， ∴∠BAM＝∠AEN， ∵∠BAM+∠EAN＝90°， ∴∠AEN+∠EAN＝90°， ∴∠ANE＝90°， ∴AM⊥DE； 即DE＝2AM，AM⊥DE； 故答案为：DE＝2AM且AM⊥DE． （2）DE＝2AM且AM⊥ED．理由如下： 延长AM到K，使MK＝AM，连BK，则△ACM≌△KCM（SAS），得到AB∥KC， ∴AC＝BK，∠ABK+∠BAC＝180°， ∵∠DAC＝∠EAB＝90°， ∴∠DAE+∠BAC＝180°， ∴∠ABK＝∠DAE， 又∵BK＝AD，AB＝AE， ∴△ABK≌△EAD（SAS）， ∴AK＝DE，∠BAK＝∠AED． ∴DE＝2AM， ∠AED+∠EAN＝∠BAK+∠EAN＝90°， ∴AM⊥DE， 即DE＝2AM且AM⊥ED； （3）DE＝2AM，∠DNM＝（180﹣α）°．理由如下： 延长AM到P，使MP＝MA，连接BP． 又∵BM＝CM，∠BMP＝∠CMA， ∴△BMP≌△CMA（SAS）， ∴BP＝AC＝AD；∠BPM＝∠CAM； 且∠PBM＝∠ACM， ∴BP∥AC，∠ABP+∠BAC＝180°， 又∵∠BAE+∠CAD＝α°+（180﹣α）°＝180°， ∴∠DAE+∠BAC＝180°， ∴∠ABP＝∠DAE， 又∵BP＝AD，AB＝AE， ∴△ABP≌△EAD（SAS）， ∴PA＝DE，∠BPA＝∠ADE＝∠CAM， ∴DE＝2AM， ∠DNM＝180度﹣（∠ADE+∠DAN）＝180度﹣（∠CAM+∠DAN）＝∠DAC＝（180﹣α）°． 即DE＝2AM，∠DNM＝（180﹣α）°． 2.【解答】 (1)答案为：①②③④； (2)结论：AF＝1/2BC，AF⊥BC，理由是： 如图2，延长AF至M，使FM＝AF，连接DM、EM，延长FA交BC于G， ∵DF＝EF， ∴四边形DAEM是平行四边形， ∴AD＝EM＝AB，AD∥EM， ∴∠DAE+∠AEM＝∠DAE+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝∠AEM， ∵AC＝AE， ∴△CAB≌△AEM（SAS）， ∴AM＝BC＝2AF，∠AME＝∠CBA， 即AF＝1/2BC， ∵AD∥EM， ∴∠DAM＝∠AME＝∠CBA， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAM+∠BAG＝90°， ∴∠CBA+∠BAG＝∠AGB＝90°， ∴AF⊥BC； (3)AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由是： 如图3，延长AF至M，使AF＝FM，连接EM、DM，设AF交BC于N， ∵EF＝DF， ∴四边形AEMD是平行四边形， ∴AE＝DM＝AC， ∵∠BAD+∠EAC＝180°， ∴∠BAC+∠EAD＝180°， ∵AE∥DM， ∴∠ADM+∠EAD＝180°， ∴∠ADM＝∠BAC， ∵AB＝AD， ∴△ABC≌△DAM（SAS）， ∴AM＝BC＝2AF，∠DAM＝∠ABC， ∴AF＝1/2BC， ∵∠DAM+∠BAF＝∠ABC+∠BAF＝90°， ∴∠ANB＝90°， ∴AF⊥BC． 更多的模型总结，请扫码加谢老师微信号：
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